Mostre que a reta tangente à parábola y=a x^{2} no ponto ( x_{0}, y_{0} ) intercepta o eixo x na metade de x_{0}.
Passo 1
O enunciado diz: temos a parábola y = a x^{2} e um ponto sobre ela (x_{0},y_{0}). Pede-se que mostremos que a reta tangente à parábola em (x_{0},y_{0}) intercepta o eixo x num ponto cuja coordenada x é a metade de x_{0}.\n
Informações dadas:
A equação da curva: y = a x^{2}.
O ponto de tangência: (x_{0},y_{0}), portanto sabemos que y_{0}=a x_{0}^{2} (peguei essa relação do enunciado, pois o ponto está sobre a parábola).\n
O que é pedido:
Mostrar que a abscissa do ponto onde a reta tangente cruza o eixo x é \dfrac{x_{0}}{2}, ou seja que o ponto de interseção com o eixo x é \left(\dfrac{x_{0}}{2},0\right).
Passo 2
Entender o que é a reta tangente e como encontrá-la (aula rápida e prática).\n
A reta tangente a uma curva num ponto tem inclinação igual à derivada da função naquele ponto. A derivada de uma função f(x) em x é o número que mede a inclinação da reta que “toca” a curva em x. Para funções polinomiais simples conseguimos calcular a derivada usando regras básicas (potência): a derivada de x^{n} é n x^{n-1}.\n
No caso de y = a x^{2}, vamos usar essa regra de potência para obter a inclinação da tangente em qualquer x.
Passo 3
Calcular a derivada de y = a x^{2} e a inclinação da tangente em x_{0}.\n
A derivada é
\frac{dy}{dx}=2a x.
A inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente no ponto x_{0} é, portanto,
m=\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=x_{0}}=2a x_{0}.
Expliquei: usei a regra da potência; a é constante, multiplicamos por 2 e reduzimos o expoente de 2 para 1.
Passo 4
Escrever a equação da reta tangente conhecendo um ponto e a inclinação (fórmula ponto-inclinação).\n
A fórmula da reta que passa por (x_{1},y_{1}) com inclinação m é
y-y_{1}=m(x-x_{1}).
Aplicando ao nosso caso com (x_{1},y_{1})=(x_{0},y_{0}) e m=2a x_{0}, a equação da tangente é
y-y_{0}=2a x_{0}(x-x_{0}).
Lembre que y_{0}=a x_{0}^{2}; vamos usar isso no passo seguinte para achar a interseção com o eixo x.
Passo 5
Encontrar a interseção da tangente com o eixo x (colocar y=0 e resolver para x).\n
Na interseção com o eixo x temos y=0. Substituindo em
0-y_{0}=2a x_{0}(x-x_{0})
obtemos
-y_{0}=2a x_{0}(x-x_{0}).
Agora substituímos y_{0}=a x_{0}^{2}:
- a x_{0}^{2}=2a x_{0}(x-x_{0}).
Se a=0 a curva seria a reta y=0 e a questão fica trivial; assumimos a\neq0 (caso contrário não há parábola). Podemos então dividir ambos os lados por a. Além disso, consideramos o caso x_{0}=0 separadamente depois; por ora suponha x_{0}\neq0 e dividimos também por x_{0}. Fazendo a divisão por a x_{0} obtemos
- x_{0}=2(x-x_{0}).
Agora resolvemos para x:
- x_{0}=2x-2x_{0}
- x_{0}+2x_{0}=2x
x_{0}=2x
x=\frac{x_{0}}{2}.
Portanto a abscissa do ponto de interseção é \dfrac{x_{0}}{2}.\n
Observação sobre o caso x_{0}=0: se x_{0}=0 então y_{0}=a\cdot0^{2}=0, o ponto de tangência é a origem. A derivada em 0 é m=2a\cdot0=0, então a reta tangente é y=0 (o próprio eixo x). Nesse caso a reta tangente “intercepta” o eixo x em todos os pontos, e a afirmação de que a interseção está em \dfrac{x_{0}}{2}=0 é compatível (a origem é um ponto de interseção). Assim não há contradição.
Passo 6
Resumo do raciocínio e dica prática para a prova.\n
Para encontrar a reta tangente: calcule a derivada para obter a inclinação m e use a fórmula ponto-inclinação.
Para achar interseção com o eixo x: coloque y=0 na equação da reta e resolva para x.
No exercício concreto isso levou diretamente a x=\dfrac{x_{0}}{2}, mostrando que o ponto de interseção é \left(\dfrac{x_{0}}{2},0\right). Isso é rápido de fazer na prova: calcule m=2a x_{0}, escreva y-a x_{0}^{2}=2a x_{0}(x-x_{0}) e ponha y=0 — resolve em duas linhas.