Defina a função \boldsymbol{f} \circ \boldsymbol{g} e o seu domínio:
f(x)=\operatorname{sec} \left(\frac{1}{x}\right), g(x)=\frac{1}{x-\pi}

Passo 1

O enunciado pede a composição das funções
f(x)=\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr),
g(x)=\tfrac{1}{x-\pi},
ou seja, calcular (f\circ g)(x) e determinar seu domínio. O conteúdo usado é definição de composição e análise de domínio de funções envolvendo frações e a função secante.

Passo 2

Para obter (f\circ g)(x) aplicamos primeiro g e depois f:
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=\operatorname{sec}\!\Bigl(\frac{1}{\,g(x)\!}\Bigr).
Como g(x)=\frac{1}{x-\pi}, temos
\frac{1}{\,g(x)\!}=x-\pi,
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(f\circ g)(x)=\operatorname{sec}\bigl(x-\pi\bigr).

Passo 3

O domínio de f\circ g exige que x pertença ao domínio de g e que g(x) pertença ao domínio de f. Primeiro,
\operatorname{dom}(g)=\{x\in\mathbb{R}\mid x-\pi\neq0\}=\mathbb{R}\setminus\{\pi\}.

Passo 4

Agora, f(t)=\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{1}{t}\bigr) está definida sempre que
  1. t\neq0 (para não dividir por zero)
  2. \tfrac{1}{t}\neq \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z} (para \cos\bigl(\tfrac{1}{t}\bigr)\neq0).
No nosso caso t=g(x)=\tfrac{1}{x-\pi}. A condição t\neq0 é automática, pois o numerador de g é 1. A segunda condição dá
\frac{1}{x-\pi}\neq \frac{1}{\frac{\pi}{2}+k\pi} \quad\Longrightarrow\quad x-\pi\neq \frac{\pi}{2}+k\pi \quad\Longrightarrow\quad x\neq \pi+\frac{\pi}{2}+k\pi=\frac{3\pi}{2}+k\pi.
Juntando tudo, o domínio de f\circ g é
\mathbb{R}\setminus\Bigl\{\pi,\\ \tfrac{3\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\Bigr\}.

Resposta

(f\circ g)(x)=\operatorname{sec}\bigl(x-\pi\bigr),
\operatorname{dom}(f\circ g) =\Bigl\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq\pi\text{ e }x\neq\tfrac{3\pi}{2}+k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\Bigr\}.

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