Defina uma função sobrejetiva
tal que, para todon
, a equar ção
possui uma infinidade de raízes
. (Sugestão: todo número natural se escreve, de modo único sob a forma
, onde
ímpar.)
Passo 1
O enunciado pede uma função sobrejetiva f: ℕ → ℕ tal que para cada n ∈ ℕ a equação f(x)=n tenha infinitas soluções em ℕ. Vamos usar a dica de decompor cada x no formato 2^a·b, com a ∈ ℕ e b ímpar.
Passo 2
Toda natural x ≠ 0 (aconselho incluir 0 com convenção f(0)=0 se quiser) se escreve de modo único como
sendo a = maior expoente de 2 que divide x e b ímpar. Esse a é justamente a v_2(x), a “ordem 2” de x.
Passo 3
Definimos então f(x) como o expoente a dessa decomposição. Em outras palavras,
Passo 4
Para ver que f é sobrejetiva, note que, dado qualquer n ∈ ℕ, basta escolher x=2^n (aí b=1) e teremos f(2^n)=n.
Passo 5
Para ver que cada valor n tem infinitas raízes, observe que, para f(x)=n, precisamos de x=2^n·b com b ímpar. E há infinitos números ímpares b. Logo, infinitos x satisfazem f(x)=n.
Resposta
Uma definição conveniente é f(x)=a, onde x=2^{a}·b (com b ímpar). Essa f é sobrejetiva e cada n tem infinitas raízes x=2^{n}·b, b ímpar.