Defina uma função sobrejetiva f: N N tal que, para todon n in N, a equar ção f(x)=n possui uma infinidade de raízes x in N. (Sugestão: todo número natural se escreve, de modo único sob a forma 2^a cdot b, onde a, b in N e b e ́𝕖𝕓𝕖 ímpar.)

Passo 1

O enunciado pede uma função sobrejetiva f: ℕ → ℕ tal que para cada n ∈ ℕ a equação f(x)=n tenha infinitas soluções em ℕ. Vamos usar a dica de decompor cada x no formato 2^a·b, com a ∈ ℕ e b ímpar.

Passo 2

Toda natural x ≠ 0 (aconselho incluir 0 com convenção f(0)=0 se quiser) se escreve de modo único como
x = 2^acdot b,
sendo a = maior expoente de 2 que divide x e b ímpar. Esse a é justamente a v_2(x), a “ordem 2” de x.

Passo 3

Definimos então f(x) como o expoente a dessa decomposição. Em outras palavras,
f(x) = a,onde x=2^acdot b com b ímpar í

Passo 4

Para ver que f é sobrejetiva, note que, dado qualquer n ∈ ℕ, basta escolher x=2^n (aí b=1) e teremos f(2^n)=n.

Passo 5

Para ver que cada valor n tem infinitas raízes, observe que, para f(x)=n, precisamos de x=2^n·b com b ímpar. E há infinitos números ímpares b. Logo, infinitos x satisfazem f(x)=n.

Resposta

Uma definição conveniente é f(x)=a, onde x=2^{a}·b (com b ímpar). Essa f é sobrejetiva e cada n tem infinitas raízes x=2^{n}·b, b ímpar.

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