Resolva a EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é $ y’ = \frac{x}{y^{2}} $. A gente vai usar conceitos de cálculo, especificamente de equações diferenciais separáveis. Isso significa que vamos separar as variáveis $ x $ e $ y $ para integrar e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. Lembre-se que $ y’ $ é a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $. Então, temos:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por $ y^{2} $ e por $ dx $ para separar as variáveis $ y $ e $ x $:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A integração é basicamente encontrar a antiderivada de cada lado da equação.
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração que podem ser combinadas em uma única constante $ C $.
Passo 4
Vamos igualar as integrais que obtivemos:
Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por 6 para eliminar os denominadores:
Podemos renomear $ 6C $ como $ C $ novamente para simplificar:
Finalmente, isolando $ y $:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde $ C $ é a constante de integração.