Resolva a EDO
y^prime=xy^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que é $ y’ = \frac{x}{y^{2}} $. A gente vai usar conceitos de cálculo, especificamente de equações diferenciais separáveis. Isso significa que vamos separar as variáveis $ x $ e $ y $ para integrar e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis. Lembre-se que $ y’ $ é a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{dy}{dx} $. Então, temos:
y'
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por $ y^{2} $ e por $ dx $ para separar as variáveis $ y $ e $ x $:
y

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A integração é basicamente encontrar a antiderivada de cada lado da equação.
Integrando o lado esquerdo:
integral y^2 , dy = y^33 + C1
E integrando o lado direito:
integral x , dx = x^22 + C2
Aqui, $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração que podem ser combinadas em uma única constante $ C $.

Passo 4

Vamos igualar as integrais que obtivemos:
y^33 = x^22 + C
Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por 6 para eliminar os denominadores:
2y^3 = 3x^2 + 6C
Podemos renomear $ 6C $ como $ C $ novamente para simplificar:
6C
Finalmente, isolando $ y $:
C
2y^3 = 3x^2 + C

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = ( 32x^2 + C )^13
Onde $ C $ é a constante de integração.

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