Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil.
integralegral duplaD y^2 e^sigma d A, D é limitada por y=x, y=4, x=0

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui?
Enunciado: Calcular a integral dupla

onde é o domínio limitado por , e .
Conteúdo: integrais duplas e mudança da ordem de integração.
O que vamos precisar:
  • Descrever os limites de integração em cada ordem ( e ).
  • Escolher a ordem mais fácil.
  • Integrar passo a passo, usando integração de funções exponenciais e, se for o caso, integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas iteradas possíveis. Vou assumir que integraly=0^4!integralx=0^y y^2e^x,dx,dy é na verdade integralx=0^4!integraly=x^4 y^2e^x,dy,dx , ou seja .
Ordem 1: integrar em primeiro, depois em .
Para cada entre e , vai de até .
Ordem 2: integrar em primeiro, depois em .
Para cada entre e , vai de até .

Passo 3

Qual é mais fácil?
  • Na Ordem 1, a integral interna trata como constante e integra normalmente.
  • Na Ordem 2, a integral interna deixa constante, mas aí sobra que é fácil, mas depois vai surgir , e esse pedacinho dá trabalho porque envolve várias partes.
    Conclusão: é mais “tranquilo” fazer em (Ordem 1).

Passo 4

Vamos calcular
integral0^4!gl[integral0^yy^2e^x,dxgr]dy
  1. Integral interna em integral0^yy^2e^x,dx = y^2l[e^xr]0^y = y^2l(e^y-1r) :
integral0^4 y^2(e^y-1),dy = integral0^4y^2e^y,dy ;-;integral0^4y^2,dy
  1. Agora sobra
integral y^2e^ydy = y^2e^y-integral 2y e^ydy = y^2e^y-l(2y e^y-2e^yr) = e^y(y^2-2y+2)
  1. Calcular l[e^y(y^2-2y+2)r]0^4 = e^4(16-8+2);-;e^0(0-0+2) = 10e^4-2 por partes:
    • Seja integral0^4y^2(e^y-1),dy = (10e^4-2);-;643 =10e^4-703 , .
    • Então , .
Avaliado de a :
  1. Calcular
  2. Subtrai:

Resposta

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