Defina as integrais iteradas para ambas as ordens de integração. Então, calcule a integral dupla usando a ordem mais fácil e explique por que ela é mais fácil.
é limitada por
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui?
Enunciado: Calcular a integral dupla
onde é o domínio limitado por
,
e
.
Conteúdo: integrais duplas e mudança da ordem de integração.
O que vamos precisar:
Enunciado: Calcular a integral dupla
onde
Conteúdo: integrais duplas e mudança da ordem de integração.
O que vamos precisar:
- Descrever os limites de integração em cada ordem (
e ). - Escolher a ordem mais fácil.
- Integrar passo a passo, usando integração de funções exponenciais e, se for o caso, integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as duas iteradas possíveis. Vou assumir que
é na verdade
, ou seja
.
Ordem 1: integrar em
primeiro, depois em
.
Para cada entre
e
,
vai de
até
.
Para cada
Ordem 2: integrar em
primeiro, depois em
.
Para cada entre
e
,
vai de
até
.
Para cada
Passo 3
Qual é mais fácil?
- Na Ordem 1, a integral interna
trata como constante e integra normalmente. - Na Ordem 2, a integral interna
deixa constante, mas aí sobra que é fácil, mas depois vai surgir , e esse pedacinho dá trabalho porque envolve várias partes.
Conclusão: é mais “tranquilo” fazer em(Ordem 1).
Passo 4
Vamos calcular
- Integral interna em
:
- Agora sobra
- Calcular
por partes: - Seja
, . - Então
, .
- Seja
Avaliado de
a
:
- Calcular
- Subtrai: