Desenhe um exemplo de uma região que seja do tipo I, mas não do tipo II

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que a questão pede: “Desenhe um exemplo de região que seja do tipo I, mas não do tipo II.”
Conteúdo: classificação de regiões para integrais duplas.
– Região tipo I: dá pra escrever como
(x,y)mid a<= x<= b,; f1(x)<= y<= f2(x)
– Região tipo II: dá pra escrever como
(x,y)mid c<= y<= d,; g1(y)<= x<= g2(y)
O que vamos precisar:
  1. Escolher um intervalo de fixo e funções com um “degrau” (ou um afunilamento) que faça fatias horizontais quebradas.
  2. Mostrar que para cada temos um único segmento em (logo é tipo I).
  3. Mostrar que para algum valor de as fatias em saem em dois pedaços, impedindo escrever como tipo II.

Passo 2

Definimos a região R = l(x,y),m|,0<= x<= 3,;0<= y<= f(x)r, por
f(x)= 2, & 0<= x<= 1, 1, & 1< x< 2, 2, & 2<= x<= 3
onde
a=0, b=3, f1(x)=0, f2(x)=f(x)
Aqui a gente já tem um intervalo fixo e em cada a varia de até um único valor . Isso mostra que é do tipo I, com

Passo 3

Agora vamos ver por que 0<= x<= 3 e y<= f(x) não é do tipo II. Para isso olhe uma fatia horizontal em algum xin[0,1]ou xin[2,3] entre 1 e 2, ou seja xmid (x,y)in R ;=; [0,1];cup;[2,3], . Nesse caso o ponto está em se e somente se
Mas para a condição só vale quando , isto é, quando
Logo, a fatia em nível é
que são DOIS pedaços.
Uma região do tipo II exige que, para cada fixo, o conjunto de seja um ÚNICO intervalo . Aqui, para , é impossível capturar o “ ” como um único segmento.

Resposta

Um exemplo de região tipo I mas não tipo II é
R=l(x,y)mid 0<= x<= 3,;0<= y<= 2,&xin[0,1]cup[2,3], 1,&xin(1,2) r
Em cada fica num só intervalo (tipo I), mas para a fatia horizontal em é , ou seja, dois pedaços – não dá pra escrever como um único , então não é tipo II.

Exercícios relacionados