Desenhe um exemplo de uma região que seja do tipo I, mas não do tipo II
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que a questão pede: “Desenhe um exemplo de região que seja do tipo I, mas não do tipo II.”
Conteúdo: classificação de regiões para integrais duplas.
– Região tipo I: dá pra escrever como
– Região tipo II: dá pra escrever como
O que vamos precisar:
Escolher um intervalo de fixo e funções com um “degrau” (ou um afunilamento) que faça fatias horizontais quebradas.
Mostrar que para cada temos um único segmento em (logo é tipo I).
Mostrar que para algum valor de as fatias em saem em dois pedaços, impedindo escrever como tipo II.
Passo 2
Definimos a região por
onde
a=0, b=3, f1(x)=0, f2(x)=f(x)
Aqui a gente já tem um intervalo fixo e em cada a varia de até um único valor . Isso mostra que é do tipo I, com
Passo 3
Agora vamos ver por que 0<= x<= 3 e y<= f(x) não é do tipo II. Para isso olhe uma fatia horizontal em algum xin[0,1]ou xin[2,3] entre 1 e 2, ou seja xmid (x,y)in R ;=; [0,1];cup;[2,3], . Nesse caso o ponto está em se e somente se
Mas para a condição só vale quando , isto é, quando
Logo, a fatia em nível é
que são DOIS pedaços.
Uma região do tipo II exige que, para cada fixo, o conjunto de seja um ÚNICO intervalo . Aqui, para , é impossível capturar o “” como um único segmento.
Resposta
Um exemplo de região tipo I mas não tipo II é
R=l(x,y)mid 0<= x<= 3,;0<= y<= 2,&xin[0,1]cup[2,3], 1,&xin(1,2) r
Em cada fica num só intervalo (tipo I), mas para a fatia horizontal em é , ou seja, dois pedaços – não dá pra escrever como um único , então não é tipo II.