Defina a linearização de f em (a, b). Qual é a correspondente aproximação linear? Qual é a interpretação geométrica da aproximação linear?

Passo 1

O enunciado pede para definir o que é a linearização de uma função de duas variáveis num ponto (a,b), apresentar a fórmula da aproximação linear correspondente e interpretar geometricamente essa aproximação. Vamos lembrar que, para funções de uma variável, a linearização em x=a é dada pela reta tangente. No caso de duas variáveis, seguimos a mesma ideia, mas agora obtemos um plano tangente em (a,b).

Passo 2

A partir do desenvolvimento em série de Taylor de primeira ordem (ou usando o diferencial total), obtemos a definição:
L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b),(x-a)+fy(a,b),(y-b)
Esse L(x,y) é a linearização de f em (a,b).

Passo 3

A aproximação linear de f perto de (a,b) consiste em usar L(x,y) no lugar de f(x,y), isto é,
f(x,y)approx L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)
Isso vale quando (x,y) está bem próximo de (a,b). Geometricamente, a função L(x,y) representa o plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) no ponto (a,b,f(a,b)). Assim, a aproximação linear pega esse plano e usa suas inclinações (derivadas parciais) para estimar o valor de f em pontos vizinhos.

Resposta

A linearização de f em (a,b) é o plano dado por L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b). A aproximação linear correspondente é a relação f(x,y)≈L(x,y) para (x,y) próximo de (a,b). Geometricamente, trata-se do plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) no ponto (a,b,f(a,b)), usado para estimar valores da função em torno desse ponto.

Exercícios relacionados