Enuncie e mostre a validade de fórmulas para determinar o máximo e mínimo entre dois inteiros. Dê exemplos numéricos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem claras:
  • Enunciar fórmulas que determinem o máximo e o mínimo entre dois inteiros quaisquer.
  • Mostrar a validade dessas fórmulas (ou seja, provar que realmente dão o máximo e o mínimo) e dar exemplos numéricos.
Informação dada (o que podemos usar): dois números inteiros quaisquer a e b. Nada mais é exigido.

Passo 2

Vou enunciar as fórmulas que vamos provar. Elas são muito usadas e elegantes:
\max(a,b)=\frac{a+b+|a-b|}{2}
\min(a,b)=\frac{a+b-|a-b|}{2}
A ideia intuitiva é: a média \dfrac{a+b}{2} deslocada por metade da diferença absoluta \dfrac{|a-b|}{2} dá o maior; subtraindo dá o menor. Agora vou provar isso rigorosamente.

Passo 3

Relembrando o que é valor absoluto e sua propriedade chave para a prova:
  • Definição: para qualquer número real (aqui inteiros) x\), \[|x|=\begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
  • Portanto, para x=a-b\] temos \[|a-b|=\begin{cases} a-b, & \text{se } a\ge b,\\[4pt] b-a, & \text{se } a<b. \end{cases}\] Essa propriedade nos permite fazer prova por casos (caso \(a\ge b e caso a<b).]

Passo 4

Prova da fórmula para \max(a,b) por casos.
Caso 1: suponha a\ge b. Então |a-b|=a-b. Substituindo na fórmula:
\frac{a+b+|a-b|}{2}=\frac{a+b+(a-b)}{2}=\frac{2a}{2}=a.
Como a\ge b, o máximo entre a e b é a. Logo a fórmula retorna o valor correto quando a\ge b.
Caso 2: suponha a<b. Então |a-b|=b-a. Substituindo:
\frac{a+b+|a-b|}{2}=\frac{a+b+(b-a)}{2}=\frac{2b}{2}=b.
Como b>a, o máximo entre a e b é b. Logo a fórmula também retorna o valor correto quando a<b.
Como cobrimos os dois possíveis casos, a fórmula
\max(a,b)=\frac{a+b+|a-b|}{2}
é válida para todos os inteiros a,b.

Passo 5

Prova da fórmula para \min(a,b) por casos (muito similar).
Caso 1: a\ge b. Então |a-b|=a-b. Substituindo:
\frac{a+b-|a-b|}{2}=\frac{a+b-(a-b)}{2}=\frac{2b}{2}=b.
Como a\ge b, o mínimo entre a e b é b. OK.
Caso 2: a<b. Então |a-b|=b-a. Substituindo:
\frac{a+b-|a-b|}{2}=\frac{a+b-(b-a)}{2}=\frac{2a}{2}=a.
Como a<b, o mínimo é a. OK.
Portanto
\min(a,b)=\frac{a+b-|a-b|}{2}
é válido para todos os inteiros a,b.

Passo 6

Comentário sobre integridade do resultado: por que a divisão por 2 dá um inteiro quando a e b são inteiros? Observação de paridade:
  • a+b e a-b têm a mesma paridade, pois (a+b)-(a-b)=2b é par. Logo |a-b| tem a mesma paridade que a-b. Assim (a+b)+|a-b| e (a+b)-|a-b| são soma (ou diferença) de dois inteiros com mesma paridade, portanto são pares. Logo a divisão por 2 produz um número inteiro. Assim as expressões são inteiras quando a,b são inteiros.

Passo 7

Exemplos numéricos detalhados (faça como exercício mental na prova: calcule |a-b| e substitua).
Exemplo A: a=7,\; b=3.
|a-b|=|7-3|=|4|=4.
\max(7,3)=\frac{7+3+4}{2}=\frac{14}{2}=7.
\min(7,3)=\frac{7+3-4}{2}=\frac{6}{2}=3.
Confere: máximo 7, mínimo 3.
Exemplo B: a=4,\; b=9.
|a-b|=|4-9|=|-5|=5.
\max(4,9)=\frac{4+9+5}{2}=\frac{18}{2}=9.
\min(4,9)=\frac{4+9-5}{2}=\frac{8}{2}=4.
Confere: máximo 9, mínimo 4.

Passo 8

Resumo intuitivo e dica prática curta:
  • A fórmula para o máximo é a média \dfrac{a+b}{2} mais metade da diferença absoluta \dfrac{|a-b|}{2}: média + semidiferença = maior.
  • Para o mínimo: média - semidiferença = menor.
    Use essas fórmulas em provas e em situações onde você precisa escrever \max e \min de forma “algebraica” sem usar condicionais.

Resposta

\displaystyle \max(a,b)=\frac{a+b+|a-b|}{2}
\displaystyle \min(a,b)=\frac{a+b-|a-b|}{2}

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