Enuncie e mostre a validade de fórmulas para determinar o máximo e mínimo entre dois inteiros. Dê exemplos numéricos.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem claras:
- Enunciar fórmulas que determinem o máximo e o mínimo entre dois inteiros quaisquer.
- Mostrar a validade dessas fórmulas (ou seja, provar que realmente dão o máximo e o mínimo) e dar exemplos numéricos.
Informação dada (o que podemos usar): dois números inteiros quaisquer
e
. Nada mais é exigido.
Passo 2
Vou enunciar as fórmulas que vamos provar. Elas são muito usadas e elegantes:
A ideia intuitiva é: a média
deslocada por metade da diferença absoluta
dá o maior; subtraindo dá o menor. Agora vou provar isso rigorosamente.
Passo 3
Relembrando o que é valor absoluto e sua propriedade chave para a prova:
- Definição: para qualquer número real (aqui inteiros)
- Portanto, para
e caso
).]
Passo 4
Prova da fórmula para
por casos.
Caso 1: suponha
. Então
. Substituindo na fórmula:
Como
, o máximo entre
e
é
. Logo a fórmula retorna o valor correto quando
.
Caso 2: suponha
. Então
. Substituindo:
Como
, o máximo entre
e
é
. Logo a fórmula também retorna o valor correto quando
.
Como cobrimos os dois possíveis casos, a fórmula
é válida para todos os inteiros
.
Passo 5
Prova da fórmula para
por casos (muito similar).
Caso 1:
. Então
. Substituindo:
Como
, o mínimo entre
e
é
. OK.
Caso 2:
. Então
. Substituindo:
Como
, o mínimo é
. OK.
Portanto
é válido para todos os inteiros
.
Passo 6
Comentário sobre integridade do resultado: por que a divisão por
dá um inteiro quando
e
são inteiros? Observação de paridade:
-
e têm a mesma paridade, pois é par. Logo tem a mesma paridade que . Assim e são soma (ou diferença) de dois inteiros com mesma paridade, portanto são pares. Logo a divisão por produz um número inteiro. Assim as expressões são inteiras quando são inteiros.
Passo 7
Exemplos numéricos detalhados (faça como exercício mental na prova: calcule
e substitua).
Exemplo A:
.
Confere: máximo
, mínimo
.
Exemplo B:
.
Confere: máximo
, mínimo
.
Passo 8
Resumo intuitivo e dica prática curta:
- A fórmula para o máximo é a média
mais metade da diferença absoluta : média + semidiferença = maior. - Para o mínimo: média - semidiferença = menor.
Use essas fórmulas em provas e em situações onde você precisa escrevere de forma “algebraica” sem usar condicionais.