Para a, b, c, d inteiros quaiquer concluir que a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4} \geq 4|a b c d|.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • São dados quatro inteiros quaisquer a,b,c,d.
  • Pede-se provar a desigualdade
a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4} \geq 4|a b c d|.
  • Informação útil imediata: para qualquer inteiro x vale x^{4} = |x|^{4}, portanto podemos trabalhar com os módulos |a|,|b|,|c|,|d|, que são números reais não negativos.

Passo 2

Redução para não negativos (motivação didática):
Defina
x=|a|,\qquad y=|b|,\qquad z=|c|,\qquad t=|d|.
Então x,y,z,t\ge 0 e
a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=x^{4}+y^{4}+z^{4}+t^{4}, \qquad |abcd|=xyzt.
Assim basta provar
x^{4}+y^{4}+z^{4}+t^{4}\ge 4\,xyzt
para todo x,y,z,t\ge 0. Vou agora ensinar e usar desigualdades elementares para chegar nisso.

Passo 3

Desigualdade elementar para dois termos (lembrando como provar):
Para quaisquer u,v\ge 0 temos
u^{4}+v^{4}\ge 2u^{2}v^{2}.
Prova simples: a expressão (u^{2}-v^{2})^{2} é não negativa, logo
(u^{2}-v^{2})^{2}\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad u^{4}-2u^{2}v^{2}+v^{4}\ge 0,
e daí segue u^{4}+v^{4}\ge 2u^{2}v^{2}.
Esta desigualdade é apenas a versão de dois termos do princípio “a média aritmética é maior ou igual à média geométrica”, escrita de forma elementar.

Passo 4

Aplicação da desigualdade aos pares (x,y) e (z,t):
Pelo resultado do passo anterior com u=x, v=y obtemos
x^{4}+y^{4}\ge 2x^{2}y^{2}.
Com u=z, v=t obtemos
z^{4}+t^{4}\ge 2z^{2}t^{2}.
Somando as duas desigualdades:
x^{4}+y^{4}+z^{4}+t^{4}\ge 2\bigl(x^{2}y^{2}+z^{2}t^{2}\bigr).

Passo 5

Segunda aplicação da desigualdade AM-GM (para transformar a soma dos quadrados em produto):
Para os números não negativos X=x^{2}y^{2} e Y=z^{2}t^{2} vale a desigualdade
X+Y\ge 2\sqrt{XY},
que se obtém observando (\sqrt{X}-\sqrt{Y})^{2}\ge 0. Substituindo X e Y
x^{2}y^{2}+z^{2}t^{2}\ge 2\sqrt{x^{2}y^{2}z^{2}t^{2}}=2\,xyzt.
Agora, combinando com a desigualdade do passo anterior:
x^{4}+y^{4}+z^{4}+t^{4}\ge 2\bigl(x^{2}y^{2}+z^{2}t^{2}\bigr)\ge 2\cdot 2\,xyzt=4\,xyzt.

Passo 6

Voltar aos inteiros originais e comentar igualdade:
Como x=|a|, y=|b|, z=|c|, t=|d|, a desigualdade obtida é exatamente
a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}\ge 4|abcd|.
Sobre quando ocorre igualdade: para termos igualdade em toda a cadeia precisamos igualdade nas aplicações de AM-GM, o que força x=y=z=t. Assim igualdade ocorre quando |a|=|b|=|c|=|d| (por exemplo (1,1,1,1) ou (-1,1,-1,1), etc.).

Resposta

a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}\ge 4|abcd|

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