Para
inteiros quaiquer concluir que
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- São dados quatro inteiros quaisquer
. - Pede-se provar a desigualdade
- Informação útil imediata: para qualquer inteiro
vale , portanto podemos trabalhar com os módulos , que são números reais não negativos.
Passo 2
Redução para não negativos (motivação didática):
Defina
Defina
Então
e
Assim basta provar
para todo
. Vou agora ensinar e usar desigualdades elementares para chegar nisso.
Passo 3
Desigualdade elementar para dois termos (lembrando como provar):
Para quaisquer temos
Para quaisquer
Prova simples: a expressão
é não negativa, logo
e daí segue
.
Esta desigualdade é apenas a versão de dois termos do princípio “a média aritmética é maior ou igual à média geométrica”, escrita de forma elementar.
Esta desigualdade é apenas a versão de dois termos do princípio “a média aritmética é maior ou igual à média geométrica”, escrita de forma elementar.
Passo 4
Aplicação da desigualdade aos pares
e
:
Pelo resultado do passo anterior com ,
obtemos
Pelo resultado do passo anterior com
Com
,
obtemos
Somando as duas desigualdades:
Passo 5
Segunda aplicação da desigualdade AM-GM (para transformar a soma dos quadrados em produto):
Para os números não negativos e
vale a desigualdade
Para os números não negativos
que se obtém observando
. Substituindo
e
dá
Agora, combinando com a desigualdade do passo anterior:
Passo 6
Voltar aos inteiros originais e comentar igualdade:
Como ,
,
,
, a desigualdade obtida é exatamente
Como
Sobre quando ocorre igualdade: para termos igualdade em toda a cadeia precisamos igualdade nas aplicações de AM-GM, o que força
. Assim igualdade ocorre quando
(por exemplo
ou
, etc.).