1. Defina: a. Modo normal de vibração; b. Momento de dipolo elétrico; c. Grau de liberdade.

Passo 1

O enunciado pede três definições separadas:
a. Modo normal de vibração;
b. Momento de dipolo elétrico;
c. Grau de liberdade.
Não há outros dados numéricos. Vou explicar cada definição de forma didática, com fórmulas, exemplos simples e indicação de como reconhecer/usar cada conceito em provas.

Passo 2

Modo normal de vibração — ideia geral e significado físico.
  • Intuição fácil: imagine um sistema que pode oscilar (por exemplo, massas ligadas por molas). Um modo normal é uma maneira particular de oscilar em que todas as partes do sistema vibram com a mesma frequência angular \omega e com padrões de amplitude fixos entre si (as razões das amplitudes não mudam no tempo). Em um modo normal cada ponto descreve um movimento harmônico simples sincronizado com os outros pontos.
  • Como aparece nas contas (passo a passo):
    1. Para pequenas oscilações lineares, as equações de movimento do sistema podem ser escritas em forma matricial como
    M \,\ddot{\mathbf{u}}(t) + K \,\mathbf{u}(t) = \mathbf{0},
    onde M é a matriz de massas (ou matriz massa-ínércia), K é a matriz de rigidez (ou constante da mola), e \mathbf{u}(t) é o vetor das coordenadas generalizadas (deslocamentos).
    2. Busca-se soluções harmônicas do tipo
    \mathbf{u}(t)=\mathbf{A}\cos(\omega t+\varphi),
    onde \mathbf{A} é um vetor constante (forma do modo), \omega é a frequência angular e \varphi a fase.
    3. Substituindo na equação de movimento obtém-se o problema de autovalores
    \bigl(K - \omega^{2} M\bigr)\mathbf{A}=\mathbf{0}.
    Para existir solução não-trivial \mathbf{A}\neq\mathbf{0}, deve valer
    \det\bigl(K - \omega^{2} M\bigr)=0,
    que fornece os valores próprios \omega^{2}. Cada \omega tem um (ou mais) autovetores \mathbf{A} que é a forma do modo normal.
  • O que cada coisa significa:
    • \omega é a frequência angular do modo; \nu=\omega/(2\pi) é a frequência em Hz.
    • \mathbf{A} diz como os graus de liberdade se combinam (por exemplo, “ambas as massas se deslocam na mesma direção com amplitudes iguais”).
    • Modos diferentes são ortogonais segundo a métrica M: para autovetores \mathbf{A}_i e \mathbf{A}_j com \omega_i\neq\omega_j vale \mathbf{A}_i^{T} M \mathbf{A}_j=0. Isso é útil para separar o movimento em contribuições independentes.
  • Exemplo concreto e simples (dois massas idênticas m com três molas de constante k, massa 1 ligada à parede, as massas ligadas entre si, e massa 2 ligada à parede):
    1. As matrizes são (escalando por k e m):
    M = m \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\qquad K = k \begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}.
    1. Resolver \det(K-\omega^{2}M)=0 equivale a achar autovalores de K divididos por m. Os autovalores de K são k e 3k. Logo
    \omega_{1}^{2}=\frac{k}{m},\qquad \omega_{2}^{2}=\frac{3k}{m},
    e as formas correspondentes (autovetores) são \mathbf{A}_1=(1,1) (movimento em fase) e \mathbf{A}_2=(1,-1) (movimento oposto).
    3. Interpretação: no primeiro modo as duas massas se movem juntas como se fossem uma única entidade; no segundo elas se movimentam em direções opostas, com frequência maior.
  • Dicas de prova:
    • Montar M e K para pequenas oscilações é meio padrão. Em sistemas simples M é diagonal.
    • Tentar a ansatz harmônica e reduzir ao problema de autovalores.
    • Reconhecer modos simétricos/antissimétricos ajuda a adivinhar autovetores simples.]

Passo 3

Momento de dipolo elétrico — definição, fórmulas e significado físico.
  • Definição matemática (discreta):
    Para um conjunto de cargas pontuais q_i localizadas em \mathbf{r}_i, o momento de dipolo elétrico total é o vetor
    \mathbf{p}=\sum_{i} q_i \,\mathbf{r}_i.
    Para uma distribuição contínua de carga com densidade \rho(\mathbf{r}),
    \mathbf{p}=\int \rho(\mathbf{r})\,\mathbf{r}\,d^{3}r.
  • Convenção de direção:
    • Se houver um par de cargas +q e -q separadas por um vetor \mathbf{d}=\mathbf{r}_{+}-\mathbf{r}_{-}, então
    \mathbf{p}=q\,\mathbf{d},
    que aponta da carga negativa para a positiva (essa é a convenção usual).
  • Unidades e caráter vetorial:
    • Unidade no SI: coulomb·metro ( \text{C}\cdot\text{m}).
    • É um vetor: tanto magnitude quanto direção importam.
  • Propriedades físicas úteis (que caem muito em prova):
    1. Torque em campo elétrico uniforme \mathbf{E}:
    \boldsymbol{\tau}=\mathbf{p}\times\mathbf{E}.
    1. Energia de um dipolo numa \mathbf{E} uniforme:
    U = -\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}.
    1. Potencial elétrico no regime dipolar, em pontos distantes (aproximação para r grande):
    V(\mathbf{r}) \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{\hat r}}{r^{2}} \quad\text{o que pode ser reescrito como}\quad V(\mathbf{r}) \approx \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}{r^{3}}.
  • Exemplo rápido: molécula de água tem momento de dipolo não nulo por causa da geometria assimétrica das cargas; um par de elétrons deslocado gera pequeno \mathbf{p}.

Passo 4

Grau de liberdade — definição operacional, contagem e exemplos.
  • Definição curta: grau de liberdade (g.l.) é o número de coordenadas independentes necessárias para especificar completamente a configuração do sistema (considerando todas as restrições).
  • Como contar (regras usuais):
    1. Para N partículas livres no espaço tridimensional sem restrições, o número de graus de liberdade é 3N (cada partícula precisa de três coordenadas).
    2. Se houver c restrições independentes (holônomas que reduzem dimensões do espaço de configurações), o número efetivo passa a ser 3N-c.
    3. Para corpos rígidos no espaço tridimensional: há 6 g.l. (três translações e três rotações).
    4. Para moléculas vibracionais: o número de modos vibracionais é igual ao número de graus de liberdade internos. Para uma molécula com N átomos:
      • se linear: número de modos vibracionais =3N-5,
      • se não-linear: =3N-6.
        Essas fórmulas vêm de subtrair as g.l. de translação e rotação das 3N totais.
  • Significado prático e ligação com modos normais:
    • O número de modos normais de vibração (autovetores não-triviais do problema linearizado) é igual ao número de graus de liberdade vibracionais do sistema.
    • Em problemas de mecânica, ao escolher coordenadas generalizadas q_1,\dots,q_f, o número f é exatamente o número de graus de liberdade.
  • Exemplos rápidos para fixar:
    1. Partícula pontual numa reta: 1 g.l.
    2. Partícula no plano: 2 g.l.
    3. Duas partículas livres no espaço 3D independentes: 3\times2=6 g.l.
    4. H _2 (diatômica, não rotacional restrito): tem 3N-5=1 modo vibracional (a vibração da ligação); também tem 3 translações e 2 rotações (no caso linear).

Passo 5

Resumo prático e dicas para a prova (curto e motivador).
  • Para identificar um modo normal: escreva as equações lineares, tente a solução \mathbf{u}(t)=\mathbf{A}\cos(\omega t+\varphi) e resolva o autovalor \det(K-\omega^{2}M)=0. Procure autovetores óbvios (simétricos/antissimétricos) para simplificar.
  • Para o momento de dipolo: memorize \mathbf{p}=\sum q_i\mathbf{r}_i e as fórmulas \boldsymbol{\tau}=\mathbf{p}\times\mathbf{E}, U=-\mathbf{p}\cdot\mathbf{E}.
  • Para grau de liberdade: conte coordenadas independentes; lembre que vibrações = 3N menos transportes/rotações conforme o caso.
  • Você está indo bem — com essas receitas você consegue reconhecer e responder esses pontos rápido na prova. Respira, faz devagar e aplica o passo a passo.

Resposta

a. Modo normal de vibração: é uma solução harmônica do sistema em que todas as coordenadas oscilam com a mesma frequência \omega e com razões de amplitude constantes, obtida ao resolver o problema de autovalores
\bigl(K-\omega^{2}M\bigr)\mathbf{A}=\mathbf{0},
onde \mathbf{A} é a forma do modo e \omega a sua frequência.
b. Momento de dipolo elétrico: é o vetor que caracteriza a separação de cargas, dado por
\mathbf{p}=\sum_{i} q_i\,\mathbf{r}_i
(ou \mathbf{p}=\int \rho(\mathbf{r})\mathbf{r}\,d^{3}r para densidade contínua); gera torque \boldsymbol{\tau}=\mathbf{p}\times\mathbf{E} e energia U=-\mathbf{p}\cdot\mathbf{E} em campo uniforme.
c. Grau de liberdade: é o número de coordenadas independentes necessárias para especificar a configuração do sistema; por exemplo, 3N para N partículas livres em 3D, e para vibrações moleculares o número de modos vibracionais é 3N-5 (linear) ou 3N-6 (não-linear).

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