Defina a potência média dissipada barpot(omega) em um período T=2 pi / omega como
barpot(omega)=1T integral0^T p(t) d t
Calcule então barpot(omega) para a solução estacionária Esboce o gráfico de barpot(omega) como função da frequência omega da força externa. Mostre que a potência média dissipada máxima ocorre para omega=omega0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para calcular a potência média dissipada barpot(omega) em um período T = 2piomega. Isso está relacionado à matéria de Dinâmica de Sistemas Oscilatórios, onde analisamos como sistemas respondem a forças externas que os fazem oscilar. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais de funções de potência ao longo de um período e como identificar a frequência que maximiza essa potência média.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a definição da potência média dissipada:
barpot(omega) = 1T integral0^T p(t) , dt
Aqui, p(t) é a potência instantânea dissipada no sistema em um dado instante t, e T é o período da oscilação, que é T = 2piomega.

Passo 3

Vamos supor que a força externa que está agindo no sistema oscilante seja harmônica, ou seja:
F(t) = F0 cos(omega t)
E a resposta do sistema, em solução estacionária, é uma oscilação com a mesma frequência, mas com uma defasagem phi:
x(t) = A cos(omega t - phi)
A velocidade v(t) é a derivada de x(t):
v(t) = -A omega sin(omega t - phi)

Passo 4

A potência instantânea dissipada é o produto da força pela velocidade:
p(t) = F(t) cdot v(t) = F0 cos(omega t) cdot (-A omega sin(omega t - phi))
Vamos simplificar essa expressão:
p(t) = -A omega F0 cos(omega t) sin(omega t - phi)

Passo 5

Para calcular a potência média, precisamos integrar p(t) ao longo de um período T e depois dividir por T:
barpot(omega) = 1T integral0^T -A omega F0 cos(omega t) sin(omega t - phi) , dt
Podemos simplificar usando identidades trigonométricas, mas antes, vamos reconhecer que, após integrar, a parte que não depende de phi será a que contribui para a potência média.

Passo 6

Utilizando a identidade trigonométrica:
cos(a) sin(b) = 12 [sin(a + b) + sin(b - a)]
Aplicando isso em nossa expressão:
p(t) = -A omega F02 [sin(omega t + omega t - phi) + sin(omega t - omega t + phi)]
Simplificando:
p(t) = -A omega F02 [sin(2omega t - phi) + sin(phi)]

Passo 7

Agora, vamos integrar p(t) de 0 a T:
integral0^T p(t) , dt = -A omega F02 [ integral0^T sin(2omega t - phi) , dt + integral0^T sin(phi) , dt ]
A integral de sin(2omega t - phi) em um período completo é zero, então sobra:
integral0^T p(t) , dt = -A omega F02 sin(phi) cdot T

Passo 8

Dividindo pela duração do período T para obter a potência média:
barpot(omega) = 1T ( -A omega F02 sin(phi) cdot T ) = -A omega F02 sin(phi)

Passo 9

Para encontrar a potência média máxima, precisamos analisar como barpot(omega) varia com omega. A potência média depende de omega tanto pela parte omega quanto pela defasagem phi, que também depende de omega.
Em sistemas como resistores em circuitos AC, a máxima transferência de potência ocorre quando a resistência do sistema está igualada à resistência da fonte, mas no nosso caso, considerando um sistema oscilatório, a máxima potência dissipada ocorre na frequência natural omega0 do sistema.

Passo 10

Portanto, ao variar omega, percebemos que barpot(omega) atinge seu valor máximo quando omega = omega0. Isso significa que a potência média dissipada é maior na frequência natural do sistema, o que está relacionado ao fenômeno de ressonância.

Resposta

A potência média dissipada barpot(omega) na solução estacionária é máxima quando a frequência da força externa omega é igual à frequência natural omega0 do sistema, ou seja, omega = omega0.

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