Defina a potência média dissipada
em um período
como
Calcule então
para a solução estacionária Esboce o gráfico de
como função da frequência
da força externa. Mostre que a potência média dissipada máxima ocorre para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que pede para calcular a potência média dissipada
em um período
. Isso está relacionado à matéria de Dinâmica de Sistemas Oscilatórios, onde analisamos como sistemas respondem a forças externas que os fazem oscilar. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais de funções de potência ao longo de um período e como identificar a frequência que maximiza essa potência média.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a definição da potência média dissipada:
Aqui,
é a potência instantânea dissipada no sistema em um dado instante
, e
é o período da oscilação, que é
.
Passo 3
Vamos supor que a força externa que está agindo no sistema oscilante seja harmônica, ou seja:
E a resposta do sistema, em solução estacionária, é uma oscilação com a mesma frequência, mas com uma defasagem
:
A velocidade
é a derivada de
:
Passo 4
A potência instantânea dissipada é o produto da força pela velocidade:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Para calcular a potência média, precisamos integrar
ao longo de um período
e depois dividir por
:
Podemos simplificar usando identidades trigonométricas, mas antes, vamos reconhecer que, após integrar, a parte que não depende de
será a que contribui para a potência média.
Passo 6
Utilizando a identidade trigonométrica:
Aplicando isso em nossa expressão:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos integrar
de 0 a
:
A integral de
em um período completo é zero, então sobra:
Passo 8
Dividindo pela duração do período
para obter a potência média:
Passo 9
Para encontrar a potência média máxima, precisamos analisar como
varia com
. A potência média depende de
tanto pela parte
quanto pela defasagem
, que também depende de
.
Em sistemas como resistores em circuitos AC, a máxima transferência de potência ocorre quando a resistência do sistema está igualada à resistência da fonte, mas no nosso caso, considerando um sistema oscilatório, a máxima potência dissipada ocorre na frequência natural
do sistema.
Passo 10
Portanto, ao variar
, percebemos que
atinge seu valor máximo quando
. Isso significa que a potência média dissipada é maior na frequência natural do sistema, o que está relacionado ao fenômeno de ressonância.
Resposta
A potência média dissipada
na solução estacionária é máxima quando a frequência da força externa
é igual à frequência natural
do sistema, ou seja,
.