Defina a quadriposição x^{\mu}=(c t, x, y, z). Para uma partícula em repouso, calcule sua quadrivelocidade u^{\mu}=d x^{\mu} / d \tau.

Passo 1

O enunciado dá a quadriposição \,x^{\mu}=(c t, x, y, z)\, e pede para calcular a quadrivelocidade \,u^{\mu}=d x^{\mu}/d\tau\, de uma partícula em repouso. Informações importantes que temos: (1) a partícula está em repouso no referencial considerado, logo suas coordenadas espaciais x,y,z são constantes; (2) \,t é o tempo coordenado e \,\tau\, é o tempo próprio da partícula. A tarefa é obter cada componente de u^{\mu}.

Passo 2

Definição e interpretação do que vamos calcular. A quadrivelocidade é definida por
u^{\mu}=\frac{d x^{\mu}}{d\tau},
onde \,x^{\mu}=(c t, x, y, z)\,. Aqui:
  • \tau é o tempo próprio: o tempo medido por um relógio movendo-se junto com a partícula;
  • c é a velocidade da luz;
  • as componentes de u^{\mu} são u^{0}=d(ct)/d\tau e u^{i}=d x^{i}/d\tau para i=1,2,3 (ou seja x,y,z).
    Vou explicar como relacionar d\tau e dt e depois calcular as derivadas.

Passo 3

Relação entre tempo próprio e tempo coordenado (a aula curta). A métrica invariante em espaço-tempo plano (Minkowski) dá o elemento de linha:
ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}.
Para uma partícula com movimento temporal (linhas de mundo timelike) definimos ds^{2}=c^{2}d\tau^{2}. Assim
c^{2}d\tau^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}.
Se definirmos a velocidade espacial \, \vec v = \frac{d\vec x}{dt}\, com v^{2}=(dx/dt)^{2}+(dy/dt)^{2}+(dz/dt)^{2}, dividindo ambos os lados por dt^{2} obtemos
\left(\frac{d\tau}{dt}\right)^{2}=1-\frac{v^{2}}{c^{2}}.
Tomando a raiz positiva (tempo próprio avança na mesma orientação que t) obtemos a relação familiar
\frac{d\tau}{dt}=\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}.
Invertendo,
\frac{dt}{d\tau}=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}} \equiv \gamma,
onde \gamma é o fator de Lorentz \,\gamma=(1-v^{2}/c^{2})^{-1/2}.

Passo 4

Especializando para a partícula em repouso no referencial considerado. “Em repouso” significa que as coordenadas espaciais não mudam com t:
\frac{dx}{dt}=0,\qquad \frac{dy}{dt}=0,\qquad \frac{dz}{dt}=0.
Logo \,v=0\,. Substituindo em \dfrac{d\tau}{dt}=\sqrt{1-v^{2}/c^{2}} temos \dfrac{d\tau}{dt}=1, portanto
\frac{dt}{d\tau}=1.

Passo 5

Agora calculamos cada componente de u^{\mu}=\dfrac{dx^{\mu}}{d\tau}. Escrevendo componente a componente:
u^{0}=\frac{d(ct)}{d\tau}=c\frac{dt}{d\tau},
u^{1}=\frac{dx}{d\tau}=\frac{dx}{dt}\frac{dt}{d\tau},
u^{2}=\frac{dy}{d\tau}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{d\tau},
u^{3}=\frac{dz}{d\tau}=\frac{dz}{dt}\frac{dt}{d\tau}.
Como vimos no passo anterior, para a partícula em repouso \dfrac{dt}{d\tau}=1 e \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dz}{dt}=0. Assim:
u^{0}=c\cdot 1 = c,
u^{1}=0\cdot 1 = 0,\qquad u^{2}=0,\qquad u^{3}=0.

Passo 6

Interpretando e checando consistência (pequeno bônus didático). A forma geral para uma partícula em movimento é
u^{\mu}=(\gamma c,\;\gamma v_{x},\;\gamma v_{y},\;\gamma v_{z}).
Para v=0 temos \gamma=1 e isso reduz exatamente para (c,0,0,0). Além disso, usando a métrica \eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1) a normalização da quadrivelocidade dá
u^{\mu}u_{\mu}=c^{2},
e de fato calculando para u^{\mu}=(c,0,0,0) obtemos u^{\mu}u_{\mu}=c^{2}, o que confirma que a resposta está consistente com a definição física.

Resposta

u^{\mu}=(c,0,0,0)

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