Defina a quadriposição
. Para uma partícula em repouso, calcule sua quadrivelocidade
.
Passo 1
O enunciado dá a quadriposição
e pede para calcular a quadrivelocidade
de uma partícula em repouso. Informações importantes que temos: (1) a partícula está em repouso no referencial considerado, logo suas coordenadas espaciais
são constantes; (2)
é o tempo coordenado e
é o tempo próprio da partícula. A tarefa é obter cada componente de
.
Passo 2
Definição e interpretação do que vamos calcular. A quadrivelocidade é definida por
onde
. Aqui:
-
é o tempo próprio: o tempo medido por um relógio movendo-se junto com a partícula; -
é a velocidade da luz; - as componentes de
são e para (ou seja ).
Vou explicar como relacionare e depois calcular as derivadas.
Passo 3
Relação entre tempo próprio e tempo coordenado (a aula curta). A métrica invariante em espaço-tempo plano (Minkowski) dá o elemento de linha:
Para uma partícula com movimento temporal (linhas de mundo timelike) definimos
. Assim
Se definirmos a velocidade espacial
com
, dividindo ambos os lados por
obtemos
Tomando a raiz positiva (tempo próprio avança na mesma orientação que
) obtemos a relação familiar
Invertendo,
onde
é o fator de Lorentz
.
Passo 4
Especializando para a partícula em repouso no referencial considerado. “Em repouso” significa que as coordenadas espaciais não mudam com
:
Logo
. Substituindo em
temos
, portanto
Passo 5
Agora calculamos cada componente de
. Escrevendo componente a componente:
Como vimos no passo anterior, para a partícula em repouso
e
. Assim:
Passo 6
Interpretando e checando consistência (pequeno bônus didático). A forma geral para uma partícula em movimento é
Para
temos
e isso reduz exatamente para
. Além disso, usando a métrica
a normalização da quadrivelocidade dá
e de fato calculando para
obtemos
, o que confirma que a resposta está consistente com a definição física.