Mostre que u^{\mu} u_{\mu}=-c^{2} para qualquer partícula, usando d \tau=d t / \gamma.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que, para qualquer partícula,
u^{\mu}u_{\mu}=-c^{2},
usando a relação entre tempo próprio e tempo coordenado
d\tau=\frac{dt}{\gamma}.
Informações relevantes dadas (e que vamos usar):
d\tau=\frac{dt}{\gamma},\qquad \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Também vamos usar a escolha usual das coordenadas espaço-temporais
x^{\mu}=(ct,x^{1},x^{2},x^{3})
e a métrica de Minkowski com sinal temporal negativo
\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(-1,1,1,1).
Nada mais será assumido neste passo.

Passo 2

Definição de quatro-velocidade e interpretação das componentes: por definição,
u^{\mu}\equiv\frac{dx^{\mu}}{d\tau}.
Isto significa que a componente temporal é u^{0}=\dfrac{dx^{0}}{d\tau} e as componentes espaciais são u^{i}=\dfrac{dx^{i}}{d\tau} para i=1,2,3. Vou explicar como obter cada uma delas a partir de d\tau=\dfrac{dt}{\gamma}.

Passo 3

Cálculo da componente temporal u^{0}. Como x^{0}=ct, temos
u^{0}=\frac{dx^{0}}{d\tau}=\frac{d(ct)}{d\tau}=c\frac{dt}{d\tau}.
Usando d\tau=\dfrac{dt}{\gamma} segue que \dfrac{dt}{d\tau}=\gamma. Portanto
u^{0}=c\gamma.
Expliquei: dt/d\tau é simplesmente o inverso de d\tau/dt, e a relação dada nos dá esse inverso igual a \gamma.

Passo 4

Cálculo das componentes espaciais u^{i}. Definindo a velocidade espacial usual \mathbf{v} com componentes v^{i}=dx^{i}/dt, obtemos
u^{i}=\frac{dx^{i}}{d\tau}=\frac{dx^{i}}{dt}\frac{dt}{d\tau}=v^{i}\gamma.
Assim, o vetor espacial \mathbf{u}=(u^{1},u^{2},u^{3}) vale \gamma\mathbf{v}, e o quadrado espacial é
\sum_{i=1}^{3}(u^{i})^{2}=\gamma^{2}v^{2},
onde v^{2}=\sum_{i}(v^{i})^{2}.

Passo 5

Agora avaliamos a contração u^{\mu}u_{\mu} usando a métrica \eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(-1,1,1,1). Pela definição de produto com a métrica,
u^{\mu}u_{\mu}=\eta_{\mu\nu}u^{\mu}u^{\nu}=-(u^{0})^{2}+\sum_{i=1}^{3}(u^{i})^{2}.
Substituindo o que achamos em Passo 3 e Passo 4:
u^{\mu}u_{\mu}=-(c\gamma)^{2}+\gamma^{2}v^{2}=\gamma^{2}\bigl(-c^{2}+v^{2}\bigr).

Passo 6

Simplificação final usando a expressão de \gamma. Lembre que
\gamma^{2}=\frac{1}{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}.
Então
\gamma^{2}\bigl(-c^{2}+v^{2}\bigr)=\gamma^{2}\bigl(-c^{2}\bigl(1-\tfrac{v^{2}}{c^{2}}\bigr)\bigr)=-c^{2}\,\gamma^{2}\!\left(1-\tfrac{v^{2}}{c^{2}}\right).
Substituindo \gamma^{2}=\dfrac{1}{1-v^{2}/c^{2}} cancela-se o fator entre parênteses, ficando
u^{\mu}u_{\mu}=-c^{2}.

Passo 7

Comentário físico curto e exemplo para fixar: o resultado mostra que o “norma” da quatro-velocidade é uma constante invariante igual a -c^{2} (com a convenção de métrica usada). Exemplo rápido: se a partícula está em repouso ( v=0), então \gamma=1 e u^{\mu}=(c,0,0,0), cujo produto dá -c^{2}, consistente com o resultado geral.

Resposta

u^{\mu}u_{\mu}=-c^{2}

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