Mostre que
para qualquer partícula, usando
.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que, para qualquer partícula,
usando a relação entre tempo próprio e tempo coordenado
Informações relevantes dadas (e que vamos usar):
Também vamos usar a escolha usual das coordenadas espaço-temporais
e a métrica de Minkowski com sinal temporal negativo
Nada mais será assumido neste passo.
Passo 2
Definição de quatro-velocidade e interpretação das componentes: por definição,
Isto significa que a componente temporal é
e as componentes espaciais são
para
. Vou explicar como obter cada uma delas a partir de
.
Passo 3
Cálculo da componente temporal
. Como
, temos
Usando
segue que
. Portanto
Expliquei:
é simplesmente o inverso de
, e a relação dada nos dá esse inverso igual a
.
Passo 4
Cálculo das componentes espaciais
. Definindo a velocidade espacial usual
com componentes
, obtemos
Assim, o vetor espacial
vale
, e o quadrado espacial é
onde
.
Passo 5
Agora avaliamos a contração
usando a métrica
. Pela definição de produto com a métrica,
Substituindo o que achamos em Passo 3 e Passo 4:
Passo 6
Simplificação final usando a expressão de
. Lembre que
Então
Substituindo
cancela-se o fator entre parênteses, ficando
Passo 7
Comentário físico curto e exemplo para fixar: o resultado mostra que o “norma” da quatro-velocidade é uma constante invariante igual a
(com a convenção de métrica usada). Exemplo rápido: se a partícula está em repouso (
), então
e
, cujo produto dá
, consistente com o resultado geral.