Prove a invariância da quadrivelocidade sob transformações de Lorentz:
, e mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar que a quadrivelocidade transforma-se segundo a regra
quando fazemos uma transformação de Lorentz; (ii) provar que o produto contraído
é igual a
, ou seja, que a norma da quadrivelocidade é invariante sob transformações de Lorentz.
Informações relevantes que vamos usar (fornecidas implicitamente pelo enunciado ou padrão da teoria):
- A quadrivelocidade é definida por
, onde é o tempo próprio da partícula. - Uma transformação de Lorentz linear é dada por
. - O tensor métrico de Minkowski será denotado por
. Usarei a convenção (unidades em que ), mas a prova vale para qualquer assinatura se a propriedade preservadora abaixo for usada. - Propriedade fundamental da matriz de Lorentz: ela preserva o produto interno de Minkowski, isto é,
- Convenção de soma de Einstein: repetição de um índice em posições alta/baixa implica soma.
Passo 2
Vou primeiro justificar a transformação da quadrivelocidade por uma regra simples de diferenciação (cadeia). Começo lembrando a definição da quadrivelocidade e a transformação das coordenadas.
A quadrivelocidade é
Sob uma transformação de Lorentz linear temos as coordenadas transformadas
Aplicando derivada em relação a
(note que
é um escalar invariante sob transformações de Lorentz), uso a regra da cadeia:
Como
é constante (transformações de Lorentz homogêneas são lineares e independentes do ponto), a derivada age apenas sobre
. Portanto
Isso prova a lei de transformação pedida para
.
Passo 3
Agora explico como definimos o componente com índice baixo
. Para isso usamos o tensor métrico:
Da mesma forma, para o quadro transformado,
Vou precisar dessa relação para calcular a norma
.
Passo 4
Formulo explicitamente o produto contraído transformado e substituo a lei de transformação obtida no Passo 2:
Substituindo
e
, obtemos
Passo 5
Agora uso associatividade e a propriedade preservadora da métrica pelos
. Rearranjando os fatores (e lembrando da convenção de soma), escrevo
Pela propriedade fundamental da matriz de Lorentz temos
Substituindo isso na expressão anterior resulta
Portanto o produto contraído (a norma Minkowskiana) da quadrivelocidade é invariante sob transformações de Lorentz.
Passo 6
Para tornar tudo mais concreto: se escolhermos uma partícula com velocidade tridimensional
e fator de Lorentz
(com
), a quadrivelocidade é
Calculando a norma:
Essa igualdade
é independente do referencial — é um exemplo explícito da invariância provada. (Se usamos unidades com
explícito, o resultado seria
.)
Passo 7
Resumo prático do procedimento que você pode usar na prova: (i) derive a lei de transformação da quadrivelocidade pela regra da cadeia sobre
; (ii) escreva o produto
, substitua as transformações e use a relação
para concluir que o produto é igual ao original. Isso evita cálculos longos e é a forma padrão e limpa de provar invariância.