Prove a invariância da quadrivelocidade sob transformações de Lorentz: u^{\mu}=\Lambda_{\nu}^{\mu} u^{\nu}, e mostre que u^{\prime \mu} u_{\mu}^{\prime}=u^{\mu} u_{\mu}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) mostrar que a quadrivelocidade transforma-se segundo a regra u^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\\ \nu} u^{\nu} quando fazemos uma transformação de Lorentz; (ii) provar que o produto contraído u'^{\mu} u'_{\mu} é igual a u^{\mu} u_{\mu}, ou seja, que a norma da quadrivelocidade é invariante sob transformações de Lorentz.
Informações relevantes que vamos usar (fornecidas implicitamente pelo enunciado ou padrão da teoria):
  • A quadrivelocidade é definida por u^{\mu} = \dfrac{d x^{\mu}}{d\tau}, onde \tau é o tempo próprio da partícula.
  • Uma transformação de Lorentz linear é dada por x'^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\\ \nu} x^{\nu}.
  • O tensor métrico de Minkowski será denotado por \eta_{\mu\nu}. Usarei a convenção \eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(-1,1,1,1) (unidades em que c=1), mas a prova vale para qualquer assinatura se a propriedade preservadora abaixo for usada.
  • Propriedade fundamental da matriz de Lorentz: ela preserva o produto interno de Minkowski, isto é,
\Lambda^{\rho}_{\\ \alpha}\,\Lambda^{\sigma}_{\\ \beta}\,\eta_{\rho\sigma}=\eta_{\alpha\beta}.
  • Convenção de soma de Einstein: repetição de um índice em posições alta/baixa implica soma.

Passo 2

Vou primeiro justificar a transformação da quadrivelocidade por uma regra simples de diferenciação (cadeia). Começo lembrando a definição da quadrivelocidade e a transformação das coordenadas.
A quadrivelocidade é
u^{\mu}=\frac{d x^{\mu}}{d\tau}.
Sob uma transformação de Lorentz linear temos as coordenadas transformadas
x'^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\\ \nu}x^{\nu}.
Aplicando derivada em relação a \tau (note que \tau é um escalar invariante sob transformações de Lorentz), uso a regra da cadeia:
\frac{d x'^{\mu}}{d\tau}=\frac{d}{d\tau}\big(\Lambda^{\mu}_{\\ \nu} x^{\nu}\big).
Como \Lambda^{\mu}_{\\ \nu} é constante (transformações de Lorentz homogêneas são lineares e independentes do ponto), a derivada age apenas sobre x^{\nu}. Portanto
u'^{\mu}=\frac{d x'^{\mu}}{d\tau}=\Lambda^{\mu}_{\\ \nu}\frac{d x^{\nu}}{d\tau}=\Lambda^{\mu}_{\\ \nu}u^{\nu}.
Isso prova a lei de transformação pedida para u^{\mu}.

Passo 3

Agora explico como definimos o componente com índice baixo u_{\mu}. Para isso usamos o tensor métrico:
u_{\mu}=\eta_{\mu\nu}u^{\nu}.
Da mesma forma, para o quadro transformado,
u'_{\mu}=\eta_{\mu\nu}u'^{\nu}.
Vou precisar dessa relação para calcular a norma u'^{\mu}u'_{\mu}.

Passo 4

Formulo explicitamente o produto contraído transformado e substituo a lei de transformação obtida no Passo 2:
u'^{\mu}u'_{\mu}=u'^{\mu}\big(\eta_{\mu\nu}u'^{\nu}\big).
Substituindo u'^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\\ \alpha}u^{\alpha} e u'^{\nu}=\Lambda^{\nu}_{\\ \beta}u^{\beta}, obtemos
u'^{\mu}u'_{\mu}=\big(\Lambda^{\mu}_{\\ \alpha}u^{\alpha}\big)\,\eta_{\mu\nu}\,\big(\Lambda^{\nu}_{\\ \beta}u^{\beta}\big).

Passo 5

Agora uso associatividade e a propriedade preservadora da métrica pelos \Lambda. Rearranjando os fatores (e lembrando da convenção de soma), escrevo
u'^{\mu}u'_{\mu}=u^{\alpha}\Big(\Lambda^{\mu}_{\\ \alpha}\,\eta_{\mu\nu}\,\Lambda^{\nu}_{\\ \beta}\Big)u^{\beta}.
Pela propriedade fundamental da matriz de Lorentz temos
\Lambda^{\mu}_{\\ \alpha}\,\eta_{\mu\nu}\,\Lambda^{\nu}_{\\ \beta}=\eta_{\alpha\beta}.
Substituindo isso na expressão anterior resulta
u'^{\mu}u'_{\mu}=u^{\alpha}\eta_{\alpha\beta}u^{\beta}=u^{\alpha}u_{\alpha}=u^{\mu}u_{\mu}.
Portanto o produto contraído (a norma Minkowskiana) da quadrivelocidade é invariante sob transformações de Lorentz.

Passo 6

Para tornar tudo mais concreto: se escolhermos uma partícula com velocidade tridimensional \mathbf{v} e fator de Lorentz \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\mathbf{v}^2}} (com c=1), a quadrivelocidade é
u^{\mu}=(\gamma,\gamma \mathbf{v}).
Calculando a norma:
u^{\mu}u_{\mu}=\eta_{\mu\nu}u^{\mu}u^{\nu}=-\gamma^{2}+\gamma^{2}\mathbf{v}^{2}=-1.
Essa igualdade -1 é independente do referencial — é um exemplo explícito da invariância provada. (Se usamos unidades com c explícito, o resultado seria -c^{2}.)

Passo 7

Resumo prático do procedimento que você pode usar na prova: (i) derive a lei de transformação da quadrivelocidade pela regra da cadeia sobre x'^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\\ \nu}x^{\nu}; (ii) escreva o produto u'^{\mu}u'_{\mu}, substitua as transformações e use a relação \Lambda^{\mu}_{\\ \alpha}\eta_{\mu\nu}\Lambda^{\nu}_{\\ \beta}=\eta_{\alpha\beta} para concluir que o produto é igual ao original. Isso evita cálculos longos e é a forma padrão e limpa de provar invariância.

Resposta

u'^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\\ \nu}u^{\nu} \
u'^{\mu}u'_{\mu}=u^{\mu}u_{\mu}

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