Defina quantitativamente as hipóteses nula H_{0} e alternativa H_{\mathrm{a}} para as situações dadas a seguir e descreva os erros tipo I e II. Se essas hipóteses forem testadas estatisticamente, comente se um teste de uma cauda ou de duas caudas deveria estar envolvido em cada caso.
*(a) Dado que essa amostra forneceu uma concentração menor que os 7,03 \mathrm{ppm} certificados pelo Instituto Nacional de Padrões e Tecnologia norte-americano, o NIST, um erro sistemático deve ter ocorrido.
(b) Os valores médios para determinações de Ca por absorção atômica e por titulometria diferem substancialmente.
*(c) Os resultados de determinações obtidas por absorção atômica para Cd são menos precisos que os resultados obtidos eletroquimicamente.
(d) Os resultados mostram que variações nos teores de impurezas observadas entre lotes de acetonitrila da marca X são menores que as da acetonitrila da marca Y.

Passo 1

O enunciado pede, para cada situação, que:
  1. Definamos quantitativamente as hipóteses nula (H_{0}) e alternativa (H_{\mathrm{a}}).
  2. Descrevamos o que são erro tipo I e erro tipo II nesse contexto.
  3. Comentemos se o teste apropriado é de uma cauda (direita ou esquerda) ou de duas caudas.

Passo 2

Para (a) checar se houve erro sistemático na concentração média \mu em relação ao valor certificado 7,03 ppm:
  • H_{0}\colon \mu = 7{,}03 ppm
  • H_{\mathrm{a}}\colon \mu < 7{,}03 ppm
    Erro tipo I: rejeitar H_{0} (concluir erro sistemático de subestimação) quando na verdade \mu=7{,}03.
    Erro tipo II: não rejeitar H_{0} (não detectar o erro) quando \mu<7{,}03 de fato.
    Teste de uma cauda à esquerda.

Passo 3

Para (b) comparar médias de Ca por dois métodos independentes \mu_{1} e \mu_{2}:
  • H_{0}\colon \mu_{1} = \mu_{2}
  • H_{\mathrm{a}}\colon \mu_{1} \neq \mu_{2}
    Erro tipo I: concluir diferença entre métodos quando, na verdade, \mu_{1}=\mu_{2}.
    Erro tipo II: não detectar diferença quando, na verdade, \mu_{1}\neq\mu_{2}.
    Teste de duas caudas.

Passo 4

Para (c) verificar se a precisão (variância \sigma^2) do método AAS é pior (maior) que a do método eletroquímico:
  • H_{0}\colon \sigma_{\text{AAS}}^{2} = \sigma_{\text{elec}}^{2}
  • H_{\mathrm{a}}\colon \sigma_{\text{AAS}}^{2} > \sigma_{\text{elec}}^{2}
    Erro tipo I: concluir que AAS é menos preciso (variância maior) quando, na verdade, variâncias são iguais.
    Erro tipo II: não detectar a menor precisão quando \sigma_{\text{AAS}}^{2}>\sigma_{\text{elec}}^{2}.
    Teste de uma cauda à direita (F de variâncias).

Passo 5

Para (d) testar se a marca X tem variações de impurezas menores que a Y (variâncias \sigma_{X}^{2} e \sigma_{Y}^{2}):
  • H_{0}\colon \sigma_{X}^{2} = \sigma_{Y}^{2}
  • H_{\mathrm{a}}\colon \sigma_{X}^{2} < \sigma_{Y}^{2}
    Erro tipo I: rejeitar H_{0} (concluir que X é mais estável) quando, na verdade, as variâncias são iguais.
    Erro tipo II: não rejeitar H_{0} quando, de fato, \sigma_{X}^{2}<\sigma_{Y}^{2}.
    Teste de uma cauda à esquerda (F de variâncias).

Resposta

(a) H_{0}\colon \mu = 7{,}03 ppm H_{\mathrm{a}}\colon \mu < 7{,}03 ppm
Erro I: concluir erro sistemático quando \mu=7{,}03.
Erro II: não detectar erro quando \mu<7{,}03.
Teste de uma cauda à esquerda.
(b) H_{0}\colon \mu_{1} = \mu_{2} H_{\mathrm{a}}\colon \mu_{1} \neq \mu_{2}
Erro I: concluir diferença quando \mu_{1}=\mu_{2}.
Erro II: não detectar diferença quando \mu_{1}\neq\mu_{2}.
Teste de duas caudas.
(c) H_{0}\colon \sigma_{\text{AAS}}^{2} = \sigma_{\text{elec}}^{2} H_{\mathrm{a}}\colon \sigma_{\text{AAS}}^{2} > \sigma_{\text{elec}}^{2}
Erro I: concluir menor precisão quando variâncias iguais.
Erro II: não detectar menor precisão quando \sigma_{\text{AAS}}^{2}>\sigma_{\text{elec}}^{2}.
Teste de uma cauda à direita.
(d) H_{0}\colon \sigma_{X}^{2} = \sigma_{Y}^{2} H_{\mathrm{a}}\colon \sigma_{X}^{2} < \sigma_{Y}^{2}
Erro I: concluir maior estabilidade de X quando variâncias iguais.
Erro II: não detectar maior estabilidade quando \sigma_{X}^{2}<\sigma_{Y}^{2}.
Teste de uma cauda à esquerda.

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