Defina a seguinte função e determine o domínio da função resultante:
f \circ g; Sendo,
f(x)=\frac{1}{x-3} \quad e \quad g(x)=\frac{x}{x+1}

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\frac{1}{x-3} \quad\text{e}\quad g(x)=\frac{x}{x+1}
e pede que a gente encontre (f\circ g)(x) e seu domínio. Para compor funções, sempre lembramos que o domínio de f\circ g é o conjunto de x tais que g(x) está no domínio de f e g(x) esteja definido.

Passo 2

Vamos calcular diretamente
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr) =\frac{1}{\,g(x)-3\,} =\frac{1}{\displaystyle \frac{x}{x+1}-3}.
Para simplificar o denominador usamos uma única fração:
\frac{x}{x+1}-3 =\frac{x-3(x+1)}{x+1} =\frac{-2x-3}{x+1}.
Logo,
(f\circ g)(x) =\frac{1}{\frac{-2x-3}{x+1}} =\frac{x+1}{-2x-3} =-\frac{x+1}{2x+3}.

Passo 3

Agora as restrições no domínio:
  1. g(x) só existe se o denominador x+1\neq0, ou seja x\neq-1.
  2. f\bigl(g(x)\bigr) só existe se g(x)\neq3. Resolver
\frac{x}{x+1}\neq3 \quad\Longleftrightarrow\quad x\neq3(x+1) \quad\Longleftrightarrow\quad -2x\neq3 \quad\Longleftrightarrow\quad x\neq-\tfrac32.
Juntando as condições, o domínio é todos os reais exceto -1 e -\tfrac32.

Resposta

(f\circ g)(x)=-\frac{x+1}{2x+3}, \qquad \mathrm{Dom}(f\circ g)=\bigl\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq-1,\;x\neq-\tfrac32\bigr\}.

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