Defina a seguinte função e determine o domínio da função resultante:
f-g; Sendo,
f(x)=\frac{1}{x-3} \quad e \quad g(x)=\frac{x}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para definir a função h=x\mapsto(f-g)(x), onde
f(x)=\frac{1}{x-3} \quad\text{e}\quad g(x)=\frac{x}{x+1},
e em seguida determinar o domínio de h. O conteúdo envolve subtração de funções racionais e o conceito de domínio como interseção dos domínios de f e g.

Passo 2

Identificamos primeiro os domínios das funções separadamente.
A função
f(x)=\frac{1}{x-3}
exige x-3\neq0, logo \dom(f)=\mathbb{R}\setminus\{3\}.
A função
g(x)=\frac{x}{x+1}
exige x+1\neq0, logo \dom(g)=\mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Passo 3

Para subtrair f e g, usamos denominador comum (x-3)(x+1). Escrevemos
(f-g)(x) =\frac{1}{x-3}-\frac{x}{x+1} =\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot(x-3)}{(x-3)(x+1)}.

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
1\cdot(x+1)-x\cdot(x-3) =x+1-(x^2-3x) =-x^2+4x+1.
Logo
(f-g)(x) =\frac{-x^2+4x+1}{(x-3)(x+1)}.

Passo 5

O domínio de f-g é a interseção de \dom(f) e \dom(g), pois só podemos avaliar a diferença onde ambas existem. Portanto
\dom(f-g) =(\mathbb{R}\setminus\{3\})\;\cap\;(\mathbb{R}\setminus\{-1\}) =\mathbb{R}\setminus\{-1,3\}.

Resposta

(f-g)(x)=\frac{-x^2+4x+1}{(x-3)(x+1)}, \qquad \dom(f-g)=\mathbb{R}\setminus\{-1,3\}.

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