Defina os seguintes conjuntos numéricos:
(c) Racionais

Passo 1

O enunciado pede: “Defina os seguintes conjuntos numéricos: (c) Racionais”.
Informação dada: é preciso dar a definição do conjunto dos números racionais e explicar o que isso significa.

Passo 2

Definição formal (uma frase curta e precisa):
\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}\;\middle|\;p\in\mathbb{Z},\;q\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\right\}.
Explicando cada símbolo dessa definição:
  • \mathbb{Q} é o símbolo que usamos para designar o conjunto dos números racionais.
  • \frac{p}{q} representa uma fração onde p é o numerador e q é o denominador.
  • p\in\mathbb{Z} significa que p é um número inteiro (por exemplo \ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots).
  • q\in\mathbb{Z}\setminus\{0\} significa que q é um inteiro diferente de zero (não podemos dividir por zero).
    Em palavras: um número é racional se pode ser escrito como a razão (divisão) entre dois inteiros, com denominador diferente de zero.

Passo 3

Forma “canônica” / simplificada de uma fração:
  • Qualquer racional \dfrac{p}{q} pode ser simplificado dividindo numerador e denominador pelo máximo divisor comum \gcd(p,q).
  • Convenção útil: representar a fração na forma reduzida com \gcd(p,q)=1 e q>0. Isso evita representações diferentes do mesmo número (por exemplo \dfrac{2}{4} e \dfrac{1}{2} representam o mesmo racional).

Passo 4

Propriedades algébricas básicas (e por que são verdadeiras):
  • Fechamento na adição: se a=\dfrac{p}{q} e b=\dfrac{r}{s} então
a+b=\frac{ps+rq}{qs},
e como ps+rq\in\mathbb{Z} e qs\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}, a soma é racional.
  • Fechamento na multiplicação:
ab=\frac{pr}{qs},
novamente numerador e denominador são inteiros (denominador não nulo).
  • Subtração e divisão (por número não nulo) seguem do mesmo raciocínio: se b\neq0 então
\frac{a}{b}=\frac{p/q}{r/s}=\frac{ps}{qr},
com r\neq0 garante denominador não nulo.
Essas demonstrações são só manipulações de frações; portanto soma, subtração, multiplicação e divisão por não nulo de racionais continuam racionais.

Passo 5

Representação decimal dos racionais — casos importantes:
  • Decimais terminantes: qualquer decimal que termine (por exemplo 0,25) é racional porque pode ser escrito como fração com denominador potência de 10. Exemplo:
0,25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}.
  • Decimais periódicos (repetitivos): qualquer decimal com um bloco que se repete (por exemplo 0,\overline{3}, que é 0,333\ldots) também é racional. A razão: é possível transformar um decimal periódico em fração por manipulação algébrica simples (próximo passo mostra como).

Passo 6

Como transformar um decimal periódico em fração (método passo a passo) — exemplo clássico:
Queremos transformar x=0,\overline{3} em fração.
  1. Escreve x=0,\overline{3}. Então 10x=3,\overline{3}.
  2. Subtrai as duas igualdades:
10x - x = 3,\overline{3} - 0,\overline{3} \quad\Rightarrow\quad 9x = 3.
  1. Logo x=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}.
    Outro exemplo: x=0,1\overline{6} (isto é, 0,1666\ldots). Multiplica por 10: 10x=1,666\ldots. Subtraindo: 10x-x=1,666\ldots-0,1666\ldots\Rightarrow 9x=1,5. Aqui é conveniente escrever 1,5=\dfrac{15}{10} e seguir para obter x=\dfrac{1}{6}. (O procedimento geral é alinhar as repetições e eliminar o periódico por subtração.)

Passo 7

Curiosidade útil: 0,\overline{9}=1. Demonstração curta:
  • Seja x=0,\overline{9}. Então 10x=9,\overline{9}. Subtraindo, 9x=9, logo x=1.
    Isso mostra que algumas representações decimais diferentes correspondem ao mesmo racional (semelhante a \tfrac{1}{2}=0,5 e 0,4999\ldots não ocorrerem em provas como coisas distintas).

Passo 8

Relação com outros conjuntos numéricos e propriedades de ordem:
  • Inclusões clássicas:
\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.
Isto significa: naturais são inteiros, inteiros são racionais (todo inteiro n é \tfrac{n}{1}), e racionais são reais.
  • Densidade dos racionais: entre quaisquer dois números reais a<b existe um racional q tal que a<q<b. Prova construtiva curta:
    1. Pelo princípio arquimediano, existe n\in\mathbb{N} tal que \dfrac{1}{n}<b-a.
    2. Considere os números na e nb. Existe um inteiro m com na<m<nb (há sempre um inteiro estritamente entre dois reais cujo diferença é maior que 1).
    3. Então \dfrac{m}{n} é racional e satisfaz a<\dfrac{m}{n}<b.
      Isso explica por que os racionais “preenchem” a reta densa, apesar de não ocuparem todos os pontos (existem irracionais entre eles).

Passo 9

Cardinalidade (intuição rápida): os racionais são infinitos e “enumeráveis” (contáveis). Ideia: os racionais correspondem a pares de inteiros (p,q) com q\neq0; como o conjunto dos inteiros é enumerável e produto de conjuntos enumeráveis é enumerável, dá para listar os racionais em uma sequência (eliminando repetições). Isso é útil para argumentos teóricos, mas não muda a definição prática dos racionais.

Passo 10

Resumo prático para decorar (viagem rápida para a prova):
  • Regra curta: “racionais = frações de inteiros”. Escreva:
\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}\;\middle|\;p\in\mathbb{Z},\\ q\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\right\}.
  • Lembre: toda representação decimal que termina ou tem período é racional; operações usuais (+,−,·,÷ por não zero) fecham em \mathbb{Q}.
    Força aí — essa é uma definição que cai sempre e é fácil de usar na prova. Você já consegue converter decimais em frações e justificar propriedades básicas.

Resposta

\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}\;\middle|\;p\in\mathbb{Z},\;q\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}\right\}

Exercícios relacionados