Demonstre:
\vec{A} \cdot \vec{B}=A B \cos (\theta), sendo \theta o ângulo entre os vetores.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a igualdade
\vec{A}\cdot\vec{B}=A B \cos(\theta),
onde:
  • \vec{A} e \vec{B} são vetores quaisquer no espaço euclidiano;
  • A denota o comprimento (módulo) de \vec{A}, isto é A=|\vec{A}|;
  • B denota o comprimento (módulo) de \vec{B}, isto é B=|\vec{B}|;
  • \theta é o ângulo entre \vec{A} e \vec{B} (o menor ângulo formado por eles, 0\le\theta\le\pi).
Informações dadas: os dois vetores \vec{A} e \vec{B} e o ângulo \theta entre eles. O objetivo é demonstrar que o produto escalar (dot product) dos vetores é igual ao produto dos seus módulos vezes o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Definições e propriedades básicas que vamos usar (explicadas devagarinho).
  • Representação em componentes (para intuição, podemos usar 3 dimensões; o argumento vale em \mathbb{R}^n também):
    \displaystyle \vec{A}=(A_x,A_y,A_z) e \displaystyle \vec{B}=(B_x,B_y,B_z).
  • Definição algébrica do produto escalar: \vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z.Aqui cada A_x,A_y,A_z,B_x,B_y,B_z é a componente do respectivo vetor nas direções dos eixos.
  • Módulo (norma) de um vetor: A=|\vec{A}|=\sqrt{\vec{A}\cdot\vec{A}}=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2},
B=|\vec{B}|=\sqrt{\vec{B}\cdot\vec{B}}=\sqrt{B_x^2+B_y^2+B_z^2}.
  • Propriedade distributiva e simetria do produto escalar (essas propriedades permitem expandir produtos): para quaisquer vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w}, (\vec{u}+\vec{v})\cdot\vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{w}, \qquad \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}.

Passo 3

Construção geométrica para relacionar álgebra e geometria: considere o triângulo formado pelos vetores \vec{A}, \vec{B} e \vec{A}-\vec{B}. Pense em colocar a cauda de \vec{A} e \vec{B} na mesma origem; então o segmento que vai da ponta de \vec{B} até a ponta de \vec{A} é o vetor \vec{A}-\vec{B}. O comprimento desse segmento é |\vec{A}-\vec{B}|.
Agora escrevemos o quadrado desse comprimento de duas maneiras — uma usando álgebra do produto escalar e outra usando geometria (lei dos cossenos).

Passo 4

Expressão algébrica de |\vec{A}-\vec{B}|^2. Usando produto escalar e propriedade distributiva,
|\vec{A}-\vec{B}|^2=(\vec{A}-\vec{B})\cdot(\vec{A}-\vec{B}).
Expandindo pelo distributivo:
(\vec{A}-\vec{B})\cdot(\vec{A}-\vec{B}) =\vec{A}\cdot\vec{A}-\vec{A}\cdot\vec{B}-\vec{B}\cdot\vec{A}+\vec{B}\cdot\vec{B}.
Usando a simetria \vec{A}\cdot\vec{B}=\vec{B}\cdot\vec{A} isso fica
|\vec{A}-\vec{B}|^2=\vec{A}\cdot\vec{A}+\vec{B}\cdot\vec{B}-2\vec{A}\cdot\vec{B}.
Substituindo \vec{A}\cdot\vec{A}=A^2 e \vec{B}\cdot\vec{B}=B^2 obtemos
|\vec{A}-\vec{B}|^2=A^2+B^2-2\vec{A}\cdot\vec{B}.

Passo 5

Expressão geométrica de |\vec{A}-\vec{B}|^2 pela lei dos cossenos. No triângulo com lados de comprimentos A, B e |\vec{A}-\vec{B}|, e com o ângulo entre os lados A e B igual a \theta, a lei dos cossenos diz:
|\vec{A}-\vec{B}|^2=A^2+B^2-2AB\cos(\theta).
Aqui a lei dos cossenos é simplesmente a generalização do teorema de Pitágoras para triângulos não retos; ela relaciona os comprimentos dos lados e o cosseno do ângulo entre dois lados.

Passo 6

Compare as duas expressões para |\vec{A}-\vec{B}|^2 obtidas nos Passos 4 e 5. Ambas expressam o mesmo número, então:
A^2+B^2-2\vec{A}\cdot\vec{B}=A^2+B^2-2AB\cos(\theta).
Subtraindo A^2+B^2 dos dois lados:
-2\vec{A}\cdot\vec{B}=-2AB\cos(\theta).
Dividindo por -2:
\vec{A}\cdot\vec{B}=AB\cos(\theta).
Pronto — isso demonstra a identidade desejada.

Passo 7

Interpretação alternativa (intuição útil para a prova): o produto escalar mede quanto de um vetor “aponta na direção” do outro. A projeção escalar de \vec{B} sobre \vec{A} é \dfrac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{A}. Geometricamente, essa projeção é B\cos(\theta). Multiplicando pela magnitude A da direção sobre a qual projetamos, obtém-se \vec{A}\cdot\vec{B}=A(B\cos(\theta)), que volta a dar a mesma fórmula. Esta visão é prática para lembrar a fórmula na hora da prova.

Resposta

\vec{A}\cdot\vec{B}=A B \cos(\theta)

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