Demonstre:
, sendo
o ângulo entre os vetores.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a igualdade
onde:
-
e são vetores quaisquer no espaço euclidiano; -
denota o comprimento (módulo) de , isto é ; -
denota o comprimento (módulo) de , isto é ; -
é o ângulo entre e (o menor ângulo formado por eles, ).
Informações dadas: os dois vetores
e
e o ângulo
entre eles. O objetivo é demonstrar que o produto escalar (dot product) dos vetores é igual ao produto dos seus módulos vezes o cosseno do ângulo entre eles.
Passo 2
Definições e propriedades básicas que vamos usar (explicadas devagarinho).
- Representação em componentes (para intuição, podemos usar 3 dimensões; o argumento vale em
também):
e . - Definição algébrica do produto escalar:
Aqui cada é a componente do respectivo vetor nas direções dos eixos. - Módulo (norma) de um vetor:
- Propriedade distributiva e simetria do produto escalar (essas propriedades permitem expandir produtos): para quaisquer vetores
,
Passo 3
Construção geométrica para relacionar álgebra e geometria: considere o triângulo formado pelos vetores
,
e
. Pense em colocar a cauda de
e
na mesma origem; então o segmento que vai da ponta de
até a ponta de
é o vetor
. O comprimento desse segmento é
.
Agora escrevemos o quadrado desse comprimento de duas maneiras — uma usando álgebra do produto escalar e outra usando geometria (lei dos cossenos).
Passo 4
Expressão algébrica de
. Usando produto escalar e propriedade distributiva,
Expandindo pelo distributivo:
Usando a simetria
isso fica
Substituindo
e
obtemos
Passo 5
Expressão geométrica de
pela lei dos cossenos. No triângulo com lados de comprimentos
,
e
, e com o ângulo entre os lados
e
igual a
, a lei dos cossenos diz:
Aqui a lei dos cossenos é simplesmente a generalização do teorema de Pitágoras para triângulos não retos; ela relaciona os comprimentos dos lados e o cosseno do ângulo entre dois lados.
Passo 6
Compare as duas expressões para
obtidas nos Passos 4 e 5. Ambas expressam o mesmo número, então:
Subtraindo
dos dois lados:
Dividindo por
:
Pronto — isso demonstra a identidade desejada.
Passo 7
Interpretação alternativa (intuição útil para a prova): o produto escalar mede quanto de um vetor “aponta na direção” do outro. A projeção escalar de
sobre
é
. Geometricamente, essa projeção é
. Multiplicando pela magnitude
da direção sobre a qual projetamos, obtém-se
, que volta a dar a mesma fórmula. Esta visão é prática para lembrar a fórmula na hora da prova.