Defina se os seguintes limites existem:
lim (x, y) (0,0) x^3-y^2x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa ver se o limite lim (x, y) (0,0) x^3-y^2x^2+y^2 existe. Aqui, estamos trabalhando com limites em duas variáveis, então vamos precisar entender como a função se comporta quando nos aproximamos de (0,0) por diferentes caminhos. Vamos verificar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando a gente aproxima (x, y) de (0,0) ao longo do eixo x, ou seja, quando y = 0.
Substituindo y = 0 na função:
x^3 - 0^2x^2 + 0^2 = x^3x^2 = x
Agora, calculando o limite quando x 0:
limx to 0 x = 0
Então, pelo caminho y = 0, o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece ao longo do eixo y, ou seja, quando x = 0.
Substituindo x = 0 na função:
0^3 - y^20^2 + y^2 = -y^2y^2 = -1
Calculando o limite quando y 0:
limy to 0 -1 = -1
Então, pelo caminho x = 0, o limite é -1.

Passo 4

Percebeu algo estranho? Temos dois resultados diferentes dependendo do caminho que escolhemos para chegar em (0,0). Para confirmar que o limite realmente depende do caminho, vamos tentar um terceiro caminho. Por exemplo, vamos escolher y = x^32.
Substituindo y = x^32 na função:
x^3 - (x^32)^2x^2 + (x^32)^2 = x^3 - x^3x^2 + x^3 = 0x^2 + x^3 = 0
Calculando o limite quando x 0:
limx to 0 0 = 0
Então, pelo caminho y = x^32, o limite é 0.

Passo 5

Como vimos, dependendo do caminho que escolhemos para aproximar (0,0), o limite da função pode ser 0 ou -1. Isso significa que o limite não é o mesmo em todos os caminhos possíveis.

Resposta

O limite não existe porque o valor depende do caminho que escolhemos para chegar em (0,0).

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