Defina se os seguintes limites existem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa ver se o limite
existe. Aqui, estamos trabalhando com limites em duas variáveis, então vamos precisar entender como a função se comporta quando nos aproximamos de
por diferentes caminhos. Vamos verificar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando a gente aproxima
de
ao longo do eixo
, ou seja, quando
.
Substituindo
na função:
Agora, calculando o limite quando
:
Então, pelo caminho
, o limite é
.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece ao longo do eixo
, ou seja, quando
.
Substituindo
na função:
Calculando o limite quando
:
Então, pelo caminho
, o limite é
.
Passo 4
Percebeu algo estranho? Temos dois resultados diferentes dependendo do caminho que escolhemos para chegar em
. Para confirmar que o limite realmente depende do caminho, vamos tentar um terceiro caminho. Por exemplo, vamos escolher
.
Substituindo
na função:
Calculando o limite quando
:
Então, pelo caminho
, o limite é
.
Passo 5
Como vimos, dependendo do caminho que escolhemos para aproximar
, o limite da função pode ser
ou
. Isso significa que o limite não é o mesmo em todos os caminhos possíveis.
Resposta
O limite não existe porque o valor depende do caminho que escolhemos para chegar em
.