Defina os seguintes termos:
lineares e não-lineares

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que significa algo ser linear e não-linear. O conteúdo aqui é classificação de funções ou equações quanto ao grau e ao princípio de superposição. Para resolver, vamos usar os conceitos de homogeneidade, aditividade e grau dos termos.

Passo 2

Uma função f ou uma equação é dita linear se satisfaz duas propriedades fundamentais:
  1. Aditividade
    para quaisquer entradas x e y,
f(x+y)=f(x)+f(y).
  1. Homogeneidade
    para qualquer escalar c e entrada x,
f(c\,x)=c\,f(x).
Em termos de equação algébrica, um polinômio ou expressão é linear se cada termo é de grau um nas variáveis e aparece apenas multiplicado por constantes. Por exemplo,
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}=b
é uma equação linear, pois cada x_{i} aparece em grau 1 e não há produtos entre variáveis nem potências diferentes de 1.

Passo 3

Por outro lado, algo é não-linear quando falha em pelo menos uma das condições de linearidade acima. Em geral, aparecem termos como produtos entre variáveis, potências diferentes de 1, funções transcendentes, etc. Por exemplo,
x^{2}+y=0, \quad \sin(x)+z=1, \quad xy+3=0
são expressões não-lineares porque envolvem x^{2}, \sin(x) ou o produto x\,y, violando o princípio de superposição.

Resposta

Linear: satisfaz aditividade e homogeneidade, com termos de grau um e sem produtos nem potências diferentes de um.
Não-linear: não satisfaz essas propriedades, apresentando produtos de variáveis, potências diferentes de um ou funções não polinomiais.

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