Defina os seguintes termos:
Linearidade

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o conceito de linearidade, que é um tema clássico de álgebra linear e de teoria de sistemas. Para isso, vamos usar as duas propriedades fundamentais que caracterizam funcionando “na base” de vetores: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Aditividade significa que, ao somar duas entradas, a saída deve ser a soma das respectivas saídas. Homogeneidade significa que, ao escalar uma entrada, a saída deve ser escalada pelo mesmo fator. Em fórmulas, se f é uma aplicação entre espaços vetoriais V e W, então:
f(x + y) = f(x) + f(y)
f(\alpha\,x) = \alpha\,f(x)
para todo x,y \in V e todo escalar \alpha.

Passo 3

Juntando essas duas propriedades, dizemos que f é linear se, para quaisquer vetores x,y\in V e quaisquer escalares a,b, valer
f(a\,x + b\,y) \;=\; a\,f(x) \;+\; b\,f(y).
Essa expressão única já incorpora aditividade (caso a=b=1) e homogeneidade (caso y=0 ou a variando).

Resposta

Linearidade é a propriedade de uma aplicação (ou sistema) f\colon V\to W de obedecer simultaneamente a aditividade e a homogeneidade; formalmente,
\text{\em \(f\) é linear se, para todo \(x,y\in V\) e todos \(a,b\in\mathbb{K}\), }f(a\,x + b\,y)=a\,f(x)+b\,f(y).é

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