Defina o que é um subcorpo e cite exemplos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Definir o que é um subcorpo.
  • Citar exemplos de subcorpos.
Não há outros dados fornecidos; a tarefa é explicar a definição de forma clara e dar exemplos concretos.

Passo 2

Definição formal e intuitiva. Vou dar a definição de forma curta e depois explicar cada parte devagarinho.
Definição curta: um subconjunto K de um corpo F é um subcorpo de F se K é um corpo com as mesmas operações de F.
Agora, traduzindo isso em propriedades verificáveis (isto é o que normalmente se usa na prova): um conjunto K\subseteq F é subcorpo de F exatamente quando
K\neq\varnothing,\qquad 1\in K,
e para todos a,b\in K vale
a+b\in K,\qquad a-b\in K,\qquad a\cdot b\in K,
e sempre que a\neq 0 temos
a^{-1}\in K.
Explicação das condições (passo a passo):
  • K\neq\varnothing e 1\in K: um corpo precisa ter elementos; exigir 1\in K garante que K não seja só \{0\} (porque \{0\} não é corpo, pois não tem inverso multiplicativo).
  • Fechamento por soma e produto ( a+b e a\cdot b em K): significa que somar ou multiplicar elementos de K não nos tira de K.
  • Fechamento por diferença ( a-b\in K) garante existência de inverso aditivo (pois -b = 0-b).
  • Fechamento por inverso multiplicativo ( a^{-1}\in K para a\neq0) garante que divisões por elementos não nulos permaneçam em K.
Observação prática (critério útil na prova): frequentemente se verifica apenas que K contém 0 e 1 (ou só 1) e que é fechado por soma, produto e inversos (ou por soma, produto e divisão por elementos não nulos). Essas verificações são suficientes para concluir que K é subcorpo.

Passo 3

Propriedade básica: corpo gerado e corpo primo.
  • Corpo primo: qualquer corpo F contém um menor subcorpo (interseção de todos os subcorpos), chamado corpo primo de F. Esse corpo primo é isomorfo a \mathbb{Q} se F tem característica zero, ou isomorfo a \mathbb{F}_p (o corpo com p elementos) se F tem característica p (primo).
    Rápida definição de característica: a característica de F é o menor inteiro positivo n tal que \underbrace{1+1+\cdots+1}_{n\\ \text{vezes}}=0,se existir; caso contrário diz-se que a característica é 0.
Isso é útil para entender porque todo corpo contém pelo menos \mathbb{Q} (quando char 0) ou \mathbb{F}_p (quando char p) como subcorpo.

Passo 4

Exemplos clássicos e verificação rápida.
  1. \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}.
  • Explicação: os racionais \mathbb{Q} formam corpo; as operações em \mathbb{Q} coincidem com as de \mathbb{R}, logo \mathbb{Q} é subcorpo de \mathbb{R}. De modo análogo \mathbb{R} é subcorpo de \mathbb{C}.
  1. Extensões simples do tipo \mathbb{Q}(\sqrt{2}).
  • Definição: \mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}:a,b\in\mathbb{Q}\}.
  • Verificação de fechamento: soma e produto de duas expressões a+b\sqrt{2} dão outra expressão da mesma forma; inverso multiplicativo de a+b\sqrt{2} (quando não nulo) é \frac{1}{a+b\sqrt{2}}=\frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2},e o denominador a^2-2b^2 é um número racional não nulo sempre que a+b\sqrt{2}\neq 0. Assim \mathbb{Q}(\sqrt{2}) é subcorpo de \mathbb{R}.
  1. \mathbb{Q}(i)=\{a+bi:a,b\in\mathbb{Q}\} é subcorpo de \mathbb{C} (mesma verificação que acima).
  2. Corpos finitos (exemplos): \mathbb{F}_p com p primo é um corpo; para cada n\ge1 existe um corpo finito \mathbb{F}_{p^n}. Subcampos desses corpos finitos satisfazem a regra: \mathbb{F}_{p^m} é subcorpo de \mathbb{F}_{p^n} se e só se m divide n. Exemplo concreto: \mathbb{F}_2 (com elementos \{0,1\}) é subcorpo de qualquer corpo finito de característica 2 que contenha uma cópia isomorfa de \mathbb{F}_2.

Passo 5

Contraexemplos (ajudam a fixar a ideia):
  • \mathbb{Z} não é subcorpo de \mathbb{Q} porque elementos como 2 não têm inverso multiplicativo em \mathbb{Z} (o inverso de 2 é 1/2\notin\mathbb{Z}).
  • O conjunto dos inteiros pares não é subcorpo de \mathbb{Q} (não contém 1 e não tem inversos).

Passo 6

Noções úteis para usar em provas rápidas:
  • Para mostrar que K\subseteq F é subcorpo normalmente verifica-se apenas: 1\in K e para todo a,b\in K temos a-b\in K e (se b\neq0) a/b\in K. Essas três checagens (contém 1, fechado por diferença, fechado por divisão por elementos não nulos) tipicamente bastam e são fáceis de aplicar em exercícios de prova.
  • Para descrever todos os subcorpos de um campo muitas vezes se fala em "subcampo gerado por um conjunto S", denotado por \mathbb{Q}(S) ou \mathbb{F}_p(S): é a menor interseção de subcorpos que contém S.

Resposta

Um subcorpo é um subconjunto K de um corpo F que, com as mesmas operações de F, é ele próprio um corpo; equivalente: K\neq\varnothing, 1\in K e para todos a,b\in K vale a\pm b\in K, ab\in K e, se a\neq0, então a^{-1}\in K.
Exemplos: \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}; \mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}:a,b\in\mathbb{Q}\}; \mathbb{Q}(i)=\{a+bi:a,b\in\mathbb{Q}\}; corpos finitos \mathbb{F}_p (p primo) e, mais geralmente, \mathbb{F}_{p^m}\subset\mathbb{F}_{p^n} sempre que m\mid n.

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