Mostre que M=\{x+y \sqrt{2 ;} x y \in \mathbb{Q}\} é um corpo com as operações de adição e multiplicação.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
M=\{x+y\sqrt{2}\mid x,y\in\mathbb{Q}\}
e pede para mostrar que M é um corpo quando equipado com as operações usuais de adição e multiplicação (as mesmas de \mathbb{R}).
Dados importantes que o enunciado fornece:
  • Cada elemento de M é um número da forma \,x+y\sqrt{2}\, com x,y\in\mathbb{Q}.
  • As operações a usar são a adição e multiplicação usuais de números reais (restritas a M).
O que precisa ser mostrado (lista das perguntas implícitas do enunciado):
  • Que M é fechado para adição e multiplicação.
  • Que as operações satisfazem as propriedades de corpo: associatividade, comutatividade, distributividade, existência de elemento neutro aditivo e multiplicativo, existência de inverso aditivo para todo elemento e de inverso multiplicativo para todo elemento não nulo, e que 1\neq0.

Passo 2

Breve lembrete do que é necessário verificar (axiomas de corpo, explicado de maneira simples):
  • Fechamento: soma e produto de dois elementos de M pertencem a M.
  • Leis algébricas: adição e multiplicação são associativas e comutativas; multiplicação distribui sobre adição.
  • Neutros: existe elemento neutro aditivo 0\in M e neutro multiplicativo 1\in M.
  • Inversos: todo u\in M tem -u\in M; todo u\in M\setminus\{0\} tem u^{-1}\in M.
  • Distinção: 1\neq0 em M.
Vou provar cada item passo a passo e, quando usar um conceito (por exemplo, usar que \sqrt{2} é irracional), explico por que isso é verdade.

Passo 3

Fechamento por adição (com explicação passo a passo):
Sejam u,v\in M com
u=a+b\sqrt{2},\qquad v=c+d\sqrt{2},
onde a,b,c,d\in\mathbb{Q}. A soma é
u+v=(a+c)+(b+d)\sqrt{2}.
Como a soma de racionais é racional, a+c\in\mathbb{Q} e b+d\in\mathbb{Q}. Logo u+v tem a forma x+y\sqrt{2} com x,y\in\mathbb{Q}, isto é, u+v\in M. Portanto M é fechado sob adição.

Passo 4

Fechamento por multiplicação (com desenvolvimento explícito):
Com u e v como acima, multiplicando:
u\cdot v = (a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2}).
Fazendo a multiplicação como em álgebra:
u\cdot v = ac + ad\sqrt{2} + bc\sqrt{2} + bd(\sqrt{2})^2.
Como (\sqrt{2})^2=2, tem-se
u\cdot v = (ac + 2bd) + (ad+bc)\sqrt{2}.
Os coeficientes ac+2bd e ad+bc são soma e produto de racionais, portanto racionais. Logo u\cdot v\in M. Assim M é fechado sob multiplicação.

Passo 5

Associatividade, comutatividade e distributividade (razão e justificativa simples):
  • A adição em M é a restrição da adição em \mathbb{R}. Como adição em \mathbb{R} é associativa e comutativa, as mesmas propriedades se mantêm em M. Formalmente, para quaisquer u,v,w\in M as expressões (u+v)+w e u+(v+w) são iguais em \mathbb{R}, logo iguais em M; idem para comutatividade.
  • O mesmo raciocínio vale para a multiplicação: é a multiplicação real restrita a M, então é associativa e comutativa.
  • Distributividade também é herdada de \mathbb{R}: para u,v,w\in M tem-se u\cdot(v+w)=u\cdot v+u\cdot w porque essa identidade é verdadeira em \mathbb{R}.
Se preferir ver um exemplo concreto, distribuindo com u=a+b\sqrt{2} e v,w iguais aos anteriores, ao calcular os dois lados obtém-se as mesmas combinações de coeficientes racionais; portanto a distributividade vale.

Passo 6

Elementos neutros e inverso aditivo (com fórmula explícita):
  • O elemento neutro aditivo é \,0=0+0\sqrt{2}\in M, pois para todo u=a+b\sqrt{2} tem u+0=(a+0)+(b+0)\sqrt{2}=u.
  • O elemento neutro multiplicativo é \,1=1+0\sqrt{2}\in M, pois u\cdot1=(a\cdot1+2b\cdot0)+(a\cdot0+b\cdot1)\sqrt{2}=a+b\sqrt{2}=u.
  • O inverso aditivo de u=a+b\sqrt{2} é -u=(-a)+(-b)\sqrt{2}, e como -a,-b\in\mathbb{Q} então -u\in M.

Passo 7

Inverso multiplicativo de um elemento não nulo (truque do conjugado e justificação da existência):
Se u=a+b\sqrt{2}\in M e u\neq0 (isto é, não é o caso a=b=0), queremos mostrar que existe v\in M tal que u\cdot v=1.
Observação prática (truque clássico): considere o “conjugado” a-b\sqrt{2}. Calcula-se
(a+b\sqrt{2})(a-b\sqrt{2}) = a^2 - (b\sqrt{2})^2 = a^2 - 2b^2.
Portanto, se a^2-2b^2\neq0, então
\frac{1}{a+b\sqrt{2}} = \frac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}.
O numerador a-b\sqrt{2} tem coeficientes racionais e o denominador a^2-2b^2 é racional não nulo; dividir cada coeficiente racional por esse denominador dá um elemento de M. Em outras palavras,
u^{-1} = \frac{a}{a^2-2b^2} + \frac{-b}{a^2-2b^2}\sqrt{2}\in M,
e de fato u\cdot u^{-1}=1. Resta verificar que o denominador só pode ser zero quando u=0.

Passo 8

Provar que a^2-2b^2=0 implica a=b=0 (uso da irracionalidade de \sqrt{2}, explicado):
Suponha a^2-2b^2=0. Se b\neq0 então
\left(\frac{a}{b}\right)^2 = 2,
o que implica \frac{a}{b}=\pm\sqrt{2}. Mas \sqrt{2} é irracional (prova curta: se \sqrt{2}=p/q com p,q inteiros primos entre si, então 2q^2=p^2 mostra que p é par; escrevendo p=2r leva a q par também, contradizendo a coprimalidade — logo \sqrt{2} não é racional). Portanto \frac{a}{b} não pode ser racional, contradizendo a,b\in\mathbb{Q}. Assim b não pode ser diferente de zero; logo b=0. Então a^2-2b^2= a^2 =0 a=0. Concluímos que a única maneira de ter a^2-2b^2=0 é a=b=0, isto é, u=0.
Portanto, para todo u\in M com u\neq0, tem-se a^2-2b^2\neq0 e o inverso multiplicativo explicitado no passo anterior existe e pertence a M.

Passo 9

Verificar que 1\neq0 em M (rápido e óbvio):
Os elementos 1 e 0 são 1=1+0\sqrt{2} e 0=0+0\sqrt{2}. Como 1\neq0 em \mathbb{Q}\subset\mathbb{R}, tem-se 1\neq0 em M. Portanto o corpo não é degenerado.

Passo 10

Conclusão final (juntando tudo, com tom de incentivo):
Reunindo os itens anteriores: M é fechado para soma e produto; as leis algébricas (associatividade, comutatividade, distributividade) valem porque vêm das operações em \mathbb{R}; existem neutros aditivo e multiplicativo em M; todo elemento tem inverso aditivo; todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo explicitamente dado por \dfrac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}; e 1\neq0. Logo M satisfaz todos os axiomas de corpo.

Resposta

M é um corpo (ou seja, um campo): todo elemento tem inverso aditivo e, se não é nulo, tem inverso multiplicativo dado por \dfrac{a-b\sqrt{2}}{a^2-2b^2}, e as demais propriedades de corpo são satisfeitas.

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