Mostre que
é um corpo com as operações de adição e multiplicação.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para mostrar que
é um corpo quando equipado com as operações usuais de adição e multiplicação (as mesmas de
).
Dados importantes que o enunciado fornece:
Dados importantes que o enunciado fornece:
- Cada elemento de
é um número da forma com . - As operações a usar são a adição e multiplicação usuais de números reais (restritas a
).
O que precisa ser mostrado (lista das perguntas implícitas do enunciado):
- Que
é fechado para adição e multiplicação. - Que as operações satisfazem as propriedades de corpo: associatividade, comutatividade, distributividade, existência de elemento neutro aditivo e multiplicativo, existência de inverso aditivo para todo elemento e de inverso multiplicativo para todo elemento não nulo, e que
.
Passo 2
Breve lembrete do que é necessário verificar (axiomas de corpo, explicado de maneira simples):
- Fechamento: soma e produto de dois elementos de
pertencem a . - Leis algébricas: adição e multiplicação são associativas e comutativas; multiplicação distribui sobre adição.
- Neutros: existe elemento neutro aditivo
e neutro multiplicativo . - Inversos: todo
tem ; todo tem . - Distinção:
em .
Vou provar cada item passo a passo e, quando usar um conceito (por exemplo, usar que
é irracional), explico por que isso é verdade.
Passo 3
Fechamento por adição (com explicação passo a passo):
Sejam com
Sejam
onde
. A soma é
Como a soma de racionais é racional,
e
. Logo
tem a forma
com
, isto é,
. Portanto
é fechado sob adição.
Passo 4
Fechamento por multiplicação (com desenvolvimento explícito):
Com e
como acima, multiplicando:
Com
Fazendo a multiplicação como em álgebra:
Como
, tem-se
Os coeficientes
e
são soma e produto de racionais, portanto racionais. Logo
. Assim
é fechado sob multiplicação.
Passo 5
Associatividade, comutatividade e distributividade (razão e justificativa simples):
- A adição em
é a restrição da adição em . Como adição em é associativa e comutativa, as mesmas propriedades se mantêm em . Formalmente, para quaisquer as expressões e são iguais em , logo iguais em ; idem para comutatividade. - O mesmo raciocínio vale para a multiplicação: é a multiplicação real restrita a
, então é associativa e comutativa. - Distributividade também é herdada de
: para tem-se porque essa identidade é verdadeira em .
Se preferir ver um exemplo concreto, distribuindo com
e
iguais aos anteriores, ao calcular os dois lados obtém-se as mesmas combinações de coeficientes racionais; portanto a distributividade vale.
Passo 6
Elementos neutros e inverso aditivo (com fórmula explícita):
- O elemento neutro aditivo é
, pois para todo tem . - O elemento neutro multiplicativo é
, pois . - O inverso aditivo de
é , e como então .
Passo 7
Inverso multiplicativo de um elemento não nulo (truque do conjugado e justificação da existência):
Se e
(isto é, não é o caso
), queremos mostrar que existe
tal que
.
Se
Observação prática (truque clássico): considere o “conjugado”
. Calcula-se
Portanto, se
, então
O numerador
tem coeficientes racionais e o denominador
é racional não nulo; dividir cada coeficiente racional por esse denominador dá um elemento de
. Em outras palavras,
e de fato
. Resta verificar que o denominador só pode ser zero quando
.
Passo 8
Provar que
implica
(uso da irracionalidade de
, explicado):
Suponha . Se
então
Suponha
o que implica
. Mas
é irracional (prova curta: se
com
inteiros primos entre si, então
mostra que
é par; escrevendo
leva a
par também, contradizendo a coprimalidade — logo
não é racional). Portanto
não pode ser racional, contradizendo
. Assim
não pode ser diferente de zero; logo
. Então
dá
. Concluímos que a única maneira de ter
é
, isto é,
.
Portanto, para todo
com
, tem-se
e o inverso multiplicativo explicitado no passo anterior existe e pertence a
.
Passo 9
Verificar que
em
(rápido e óbvio):
Os elementos e
são
e
. Como
em
, tem-se
em
. Portanto o corpo não é degenerado.
Os elementos
Passo 10
Conclusão final (juntando tudo, com tom de incentivo):
Reunindo os itens anteriores: é fechado para soma e produto; as leis algébricas (associatividade, comutatividade, distributividade) valem porque vêm das operações em
; existem neutros aditivo e multiplicativo em
; todo elemento tem inverso aditivo; todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo explicitamente dado por
; e
. Logo
satisfaz todos os axiomas de corpo.
Reunindo os itens anteriores: