Mostre que se se uma
é um homomorfismo de anéis. Então
é um subanel de
e
é injetor se somente se
Passo 1
O enunciado nos dá um homomorfismo de anéis
. Define-se o núcleo (denotado por
) como
O que o exercício pede:
- Mostrar que
é um subanel de . - Mostrar que
é injetora se, e somente se, .
Lista das informações relevantes dadas:
-
é homomorfismo de anéis (portanto preserva adição e multiplicação: e para todo ). - Símbolos usados:
é o elemento zero de e é o elemento zero de .
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Primeiro, lembro algumas propriedades básicas de homomorfismos de anéis que vou usar, e mostro por que
manda o zero em zero e inversos em inversos.
Propriedades úteis (e pequenas demonstrações):
- Para todo homomorfismo de anéis
vale .
Demonstração curta: como, aplicando obtemos Subtraindo dos dois lados (existe inverso aditivo em ) segue que . - Para todo
tem-se .
Demonstração curta:, então é o inverso aditivo de , i.e. .
Essas duas propriedades são padrão e muito úteis para lidar com núcleo.
Passo 3
Mostrar que
(o núcleo é não vazio).
Pelo passo anterior sabemos
. Portanto
satisfaz a condição para pertencer ao núcleo, isto é
. Assim
.
Passo 4
Mostrar que
é fechado sob subtração (portanto fechado sob adição e contém inversos aditivos).
Sejam
. Isso significa
e
. Consideramos
. Usando que
preserva a adição:
Portanto
. Como a subtração gera adição e inverso aditivo, isso mostra que
é um subgrupo do grupo aditivo de
.
Passo 5
Mostrar que
é fechado sob multiplicação.
Sejam
. Então
e
. Como
preserva multiplicação,
Logo
. Assim
é fechado para o produto.
Passo 6
Conclusão sobre subanel.
Recapitulando:
contém
(passo 3), é fechado sob subtração (passo 4) e é fechado sob multiplicação (passo 5). Esses três fatos são exatamente a condição habitual para um subconjunto ser um subanel de
(não vazio + fechado sob subtração + fechado sob produto). Portanto
é um subanel de
.
Observação prática: se se exigir que subanel compartilhe o mesmo elemento
de
, então na prática o núcleo só terá
quando
for o homomorfismo zero (isso é apenas comentário, não necessário para a prova).
Passo 7
Provar que
injetora implica
.
Suponha
injetora. Tome
. Então
. Pela injetividade de
segue
. Portanto
. Como já sabemos
(passo 3), tem-se
.
Passo 8
Provar que
implica
injetora.
Suponha
. Para provar que
é injetora, tome
tais que
. Então
ou seja
. Pela hipótese
segue
, logo
. Como
e
arbitrários com
implicaram
, concluímos que
é injetora.
Passo 9
Resumo intuitivo e exemplo rápido (para fixar a ideia).
Intuitivamente, o núcleo são os elementos de
que “viram zero” em
. Eles formam um subanel porque soma, diferença e produto de dois elementos que viram zero também vira zero. A injetividade significa que o único elemento que vira zero é o zero; se existisse outro
com
então
identificaria
com
e não seria injetora. Exemplo concreto: para
a projeção natural, o núcleo é
(um subanel) e
é injetora só quando
(ou seja trivialmente no caso
).