Mostre que se se uma f: A \rightarrow B é um homomorfismo de anéis. Então N(f(x)) é um subanel de A e f é injetor se somente se N(f)=0_{A}

Passo 1

O enunciado nos dá um homomorfismo de anéis f\colon A\to B. Define-se o núcleo (denotado por N(f)) como
N(f)=\{x\in A \mid f(x)=0_B\}.
O que o exercício pede:
  • Mostrar que N(f) é um subanel de A.
  • Mostrar que f é injetora se, e somente se, N(f)=\{0_A\}.
Lista das informações relevantes dadas:
  • f é homomorfismo de anéis (portanto preserva adição e multiplicação: f(x+y)=f(x)+f(y) e f(xy)=f(x)f(y) para todo x,y\in A).
  • Símbolos usados: 0_A é o elemento zero de A e 0_B é o elemento zero de B.
    A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Primeiro, lembro algumas propriedades básicas de homomorfismos de anéis que vou usar, e mostro por que f manda o zero em zero e inversos em inversos.
Propriedades úteis (e pequenas demonstrações):
  • Para todo homomorfismo de anéis f vale \,f(0_A)=0_B.
    Demonstração curta: como 0_A+0_A=0_A, aplicando f obtemos f(0_A)=f(0_A+0_A)=f(0_A)+f(0_A).Subtraindo f(0_A) dos dois lados (existe inverso aditivo em B) segue que f(0_A)=0_B.
  • Para todo x\in A tem-se \,f(-x)=-f(x).
    Demonstração curta: 0_B=f(0_A)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x), então f(-x) é o inverso aditivo de f(x), i.e. f(-x)=-f(x).
Essas duas propriedades são padrão e muito úteis para lidar com núcleo.

Passo 3

Mostrar que 0_A\in N(f) (o núcleo é não vazio).
Pelo passo anterior sabemos f(0_A)=0_B. Portanto 0_A satisfaz a condição para pertencer ao núcleo, isto é 0_A\in N(f). Assim N(f)\neq\varnothing.

Passo 4

Mostrar que N(f) é fechado sob subtração (portanto fechado sob adição e contém inversos aditivos).
Sejam a,b\in N(f). Isso significa f(a)=0_B e f(b)=0_B. Consideramos a-b. Usando que f preserva a adição:
f(a-b)=f(a)+f(-b)=f(a)-f(b)=0_B-0_B=0_B.
Portanto a-b\in N(f). Como a subtração gera adição e inverso aditivo, isso mostra que N(f) é um subgrupo do grupo aditivo de A.

Passo 5

Mostrar que N(f) é fechado sob multiplicação.
Sejam a,b\in N(f). Então f(a)=0_B e f(b)=0_B. Como f preserva multiplicação,
f(ab)=f(a)f(b)=0_B\cdot 0_B=0_B.
Logo ab\in N(f). Assim N(f) é fechado para o produto.

Passo 6

Conclusão sobre subanel.
Recapitulando: N(f) contém 0_A (passo 3), é fechado sob subtração (passo 4) e é fechado sob multiplicação (passo 5). Esses três fatos são exatamente a condição habitual para um subconjunto ser um subanel de A (não vazio + fechado sob subtração + fechado sob produto). Portanto N(f) é um subanel de A.
Observação prática: se se exigir que subanel compartilhe o mesmo elemento 1 de A, então na prática o núcleo só terá 1 quando f for o homomorfismo zero (isso é apenas comentário, não necessário para a prova).

Passo 7

Provar que f injetora implica N(f)=\{0_A\}.
Suponha f injetora. Tome x\in N(f). Então f(x)=0_B=f(0_A). Pela injetividade de f segue x=0_A. Portanto N(f)\subseteq\{0_A\}. Como já sabemos 0_A\in N(f) (passo 3), tem-se N(f)=\{0_A\}.

Passo 8

Provar que N(f)=\{0_A\} implica f injetora.
Suponha N(f)=\{0_A\}. Para provar que f é injetora, tome a,b\in A tais que f(a)=f(b). Então
f(a-b)=f(a)-f(b)=0_B,
ou seja a-b\in N(f). Pela hipótese N(f)=\{0_A\} segue a-b=0_A, logo a=b. Como a e b arbitrários com f(a)=f(b) implicaram a=b, concluímos que f é injetora.

Passo 9

Resumo intuitivo e exemplo rápido (para fixar a ideia).
Intuitivamente, o núcleo são os elementos de A que “viram zero” em B. Eles formam um subanel porque soma, diferença e produto de dois elementos que viram zero também vira zero. A injetividade significa que o único elemento que vira zero é o zero; se existisse outro x\neq 0 com f(x)=0 então f identificaria x com 0 e não seria injetora. Exemplo concreto: para f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_n a projeção natural, o núcleo é n\mathbb{Z} (um subanel) e f é injetora só quando n=0 (ou seja trivialmente no caso \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}).

Resposta

N(f)=\{x\in A\mid f(x)=0_B\} é um subanel de A.\n f é injetora se, e somente se, N(f)=\{0_A\}.

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