Defina todos os vetores \mathbf{v} tal que
\langle 1,2,1\rangle \times \mathbf{v}=\langle 3,1,-5\rangle

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os vetores \mathbf{v} tais que
\langle 1,2,1\rangle \times \mathbf{v}=\langle 3,1,-5\rangle.
As informações dadas são:
  • O vetor fixo \mathbf{a}=\langle 1,2,1\rangle.
  • O vetor resultado \mathbf{b}=\langle 3,1,-5\rangle.
    A pergunta é: quais são todos os vetores \mathbf{v} que satisfazem essa igualdade?

Passo 2

Antes de começar a calcular, algumas propriedades e fórmulas úteis (explicadas devagar para a prova):
  • A definição coordenada do produto vetorial entre \mathbf{a}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle e \mathbf{v}=\langle x,y,z\rangle é
\mathbf{a}\times\mathbf{v}=\langle a_2 z - a_3 y,\; a_3 x - a_1 z,\; a_1 y - a_2 x\rangle.
Cada componente vem da regra padrão do produto vetorial.
  • Uma propriedade importante: \mathbf{a}\times\mathbf{v} é ortogonal a \mathbf{a}. Então, necessariamente, \mathbf{b} deve ser ortogonal a \mathbf{a}. Isso fornece uma verificação rápida de consistência — se \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\neq 0 não existe solução.
    Vou usar essas ideias ao longo da resolução.

Passo 3

Verificação de consistência: calculo o produto escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1\cdot 3 + 2\cdot 1 + 1\cdot(-5)=3+2-5=0.
Como \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0, \mathbf{b} é de fato ortogonal a \mathbf{a}, então pode haver soluções — seguimos.
Agora escrevo um vetor desconhecido \mathbf{v}=\langle x,y,z\rangle com incógnitas x,y,z e uso a fórmula do produto vetorial:
\langle 1,2,1\rangle \times \langle x,y,z\rangle = \langle 2z-1y,\; 1x-1z,\; 1y-2x\rangle.
Igualando esse vetor a \mathbf{b}=\langle 3,1,-5\rangle obtenho o sistema de três equações:
\begin{cases} 2z - y = 3,\\[4pt] x - z = 1,\\[4pt] y - 2x = -5. \end{cases}]

Passo 4

Agora resolvo o sistema passo a passo, sem pular etapas (modo prova):
  • Da segunda equação \;x - z = 1\; isolamos x:
x = z + 1.
  • Da primeira equação \;2z - y = 3\; isolamos y:
y = 2z - 3.
  • Substituo essas expressões na terceira equação \;y - 2x = -5\;:
(2z - 3) - 2(z + 1) = -5.
Faço as operações no lado esquerdo com calma:
2z - 3 - 2z - 2 = -5 \quad\Rightarrow\quad -5 = -5.
A terceira equação é satisfeita identicamente — ou seja, é linearmente dependente das duas primeiras. Isso significa que o sistema tem infinitas soluções parametrizadas por uma variável livre (aqui escolhemos z como parâmetro).

Passo 5

Escrevo a solução geral usando o parâmetro t (substituindo z=t para ficar bonito e claro):
\begin{aligned} z &= t,\\[4pt] x &= z + 1 = t + 1,\\[4pt] y &= 2z - 3 = 2t - 3. \end{aligned}
Portanto
\mathbf{v}=\langle x,y,z\rangle=\langle t+1,\;2t-3,\;t\rangle.
Posso fatorar em termos de t:
\mathbf{v}=\langle 1,-3,0\rangle + t\langle 1,2,1\rangle,\qquad t\in\mathbb{R}.
Interpretação geométrica e por que isso faz sentido: qualquer componente de \mathbf{v} paralelo a \mathbf{a}=\langle 1,2,1\rangle desaparece no produto vetorial porque \mathbf{a}\times\mathbf{a}=\mathbf{0}. Logo se \mathbf{v}_0 é uma solução particular, então \mathbf{v}_0 + t\mathbf{a} também é solução para todo t. Aqui \langle 1,-3,0\rangle é uma solução particular (correspondente a t=0).]

Passo 6

Checagem rápida (útil na prova): escolho t=0 e verifico que \langle 1,2,1\rangle\times\langle 1,-3,0\rangle \langle 3,1,-5\rangle.
Calculo:
\langle 1,2,1\rangle\times\langle 1,-3,0\rangle =\langle 2\cdot 0 - 1\cdot(-3),\;1\cdot 1 - 1\cdot 0,\;1\cdot(-3)-2\cdot 1\rangle =\langle 3,\;1,\;-5\rangle,
confirmação perfeita. E como adicionar t\langle 1,2,1\rangle não muda o produto vetorial, a família encontrada está correta e completa.

Resposta

\mathbf{v}=\langle 1,-3,0\rangle + t\langle 1,2,1\rangle,\quad t\in\mathbb{R}.

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