O vetor resultado \mathbf{b}=\langle 3,1,-5\rangle.
A pergunta é: quais são todos os vetores \mathbf{v} que satisfazem essa igualdade?
Passo 2
Antes de começar a calcular, algumas propriedades e fórmulas úteis (explicadas devagar para a prova):
A definição coordenada do produto vetorial entre \mathbf{a}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle e \mathbf{v}=\langle x,y,z\rangle é
\mathbf{a}\times\mathbf{v}=\langle a_2 z - a_3 y,\; a_3 x - a_1 z,\; a_1 y - a_2 x\rangle.
Cada componente vem da regra padrão do produto vetorial.
Uma propriedade importante: \mathbf{a}\times\mathbf{v} é ortogonal a \mathbf{a}. Então, necessariamente, \mathbf{b} deve ser ortogonal a \mathbf{a}. Isso fornece uma verificação rápida de consistência — se \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}\neq 0 não existe solução.
Vou usar essas ideias ao longo da resolução.
Passo 3
Verificação de consistência: calculo o produto escalar \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}:
A terceira equação é satisfeita identicamente — ou seja, é linearmente dependente das duas primeiras. Isso significa que o sistema tem infinitas soluções parametrizadas por uma variável livre (aqui escolhemos z como parâmetro).
Passo 5
Escrevo a solução geral usando o parâmetro t (substituindo z=t para ficar bonito e claro):
\begin{aligned} z &= t,\\[4pt] x &= z + 1 = t + 1,\\[4pt] y &= 2z - 3 = 2t - 3. \end{aligned}
Interpretação geométrica e por que isso faz sentido: qualquer componente de \mathbf{v} paralelo a \mathbf{a}=\langle 1,2,1\rangle desaparece no produto vetorial porque \mathbf{a}\times\mathbf{a}=\mathbf{0}. Logo se \mathbf{v}_0 é uma solução particular, então \mathbf{v}_0 + t\mathbf{a} também é solução para todo t. Aqui \langle 1,-3,0\rangle é uma solução particular (correspondente a t=0).]
Passo 6
Checagem rápida (útil na prova): escolho t=0 e verifico que \langle 1,2,1\rangle\times\langle 1,-3,0\rangle dá \langle 3,1,-5\rangle.
Calculo: