Calcule |\mathbf{u} \times \mathbf{v}| e determine se \mathbf{u} \times \mathbf{v} tem o sentido de entrar ou sair da página.
\underset{|\mathbf{u}|=4}{\stackrel{|\mathbf{v}|=5}{45^{\circ}}}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • |\mathbf{u}| = 4.
  • |\mathbf{v}| = 5.
  • O ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v} é 45^\circ (o enunciado mostra esse ângulo entre os vetores).
    O que se pede:
  • Calcular |\mathbf{u}\times\mathbf{v}|.
  • Determinar se \mathbf{u}\times\mathbf{v} tem sentido de entrar na página ou de sair da página.

Passo 2

Fórmula que vamos usar e explicação didática:
  • A magnitude do produto vetorial entre dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} é dada por
|\mathbf{u}\times\mathbf{v}| = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}.
Explicação do que cada símbolo significa:
  • |\mathbf{u}\times\mathbf{v}| é o comprimento do vetor resultante do produto vetorial.
  • |\mathbf{u}| e |\mathbf{v}| são os comprimentos (normas) dos vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}.
  • \sin\theta é o seno do ângulo entre os vetores; o produto |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\,\sin\theta corresponde à área do paralelogramo formado por \mathbf{u} e \mathbf{v}.
    Dica prática para a prova: memorize essa fórmula e lembre que o produto vetorial é perpendicular ao plano dos vetores; a magnitude vem do seno do ângulo porque é a componente perpendicular de um vetor em relação ao outro.

Passo 3

Calcular o seno de 45^\circ. Lembrete básico de trigonometria:
  • \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    Justificativa curta: no triângulo isósceles 45^\circ\!-\!45^\circ\!-\!90^\circ os catetos são iguais e a hipotenusa é \sqrt{2} vezes um cateto, daí o seno é \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Aplicar os valores na fórmula:
|\mathbf{u}\times\mathbf{v}| = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\,\sin 45^\circ = 4\cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.
Calcule passo a passo:
4\cdot 5 = 20, \qquad 20\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}.
Opcional: aproximação numérica
10\sqrt{2}\approx 10\cdot 1{,}4142 \approx 14{,}142.

Passo 5

Determinar o sentido (entrar ou sair da página) e como raciocinar na prova:
  • Regra da mão direita (explicação didática e prática): aponte os dedos da mão direita na direção de \mathbf{u} e faça o movimento de curvar os dedos no sentido do giro de \mathbf{u} para \mathbf{v}; o polegar estendido indica a direção de \mathbf{u}\times\mathbf{v}.
  • Como o enunciado mostra o ângulo 45^\circ tomado de \mathbf{u} para \mathbf{v} no sentido anti-horário (o vetor \mathbf{v} está “acima” de \mathbf{u} no esquema), ao curvar os dedos da mão direita de \mathbf{u} para \mathbf{v} os dedos saem da página e o polegar aponta para fora da página.
  • Conclusão: \mathbf{u}\times\mathbf{v} aponta para fora da página (sair da página).
    Dica de prova: se o giro de \mathbf{u} para \mathbf{v} for horário, então o produto apontará para dentro da página; se for anti-horário, apontará para fora.

Resposta

10\sqrt{2}
sai da página

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