Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais a \mathbf{j}-\mathbf{k} \mathrm{e} \mathbf{i}+\mathbf{j}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede: "Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais a \mathbf{j}-\mathbf{k} e \mathbf{i}+\mathbf{j}". Ou seja, encontrar vetores de comprimento 1 que sejam perpendiculares aos dois vetores dados ao mesmo tempo.
  • Dados (escrevendo nas coordenadas canônicas):
    • \mathbf{a}=\mathbf{j}-\mathbf{k}=(0,1,-1).
    • \mathbf{b}=\mathbf{i}+\mathbf{j}=(1,1,0).

Passo 2

O que significa "ortogonal a \mathbf{a} e \mathbf{b}" e qual método usar.
  • Definição: um vetor \mathbf{w} é ortogonal (perpendicular) a outro vetor \mathbf{v} se o produto escalar \mathbf{w}\cdot\mathbf{v}=0. O produto escalar entre (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) é \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2.
  • Método prático: em \mathbb{R}^3, um vetor que é ortogonal simultaneamente a \mathbf{a} e \mathbf{b} é dado pelo produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b}. O produto vetorial de dois vetores fornece um vetor perpendicular a ambos. Depois basta normalizar (dividir pela norma) para obter um vetor unitário. Haverá duas escolhas unitárias possíveis: \pm do vetor normalizado (opostos).

Passo 3

Calcular o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b}. Vou usar a representação em determinante com os versores \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & 1 & -1 \\\\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}.
Expandindo o determinante (regra de Sarrus / expansão por cofactores):
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \mathbf{i}\,(1\cdot0-(-1)\cdot1) - \mathbf{j}\,(0\cdot0-(-1)\cdot1) + \mathbf{k}\,(0\cdot1-1\cdot1).
Agora calculando cada termo:
\mathbf{i}:(1\cdot0-(-1)\cdot1)=0+1=1,
\mathbf{j}:(0\cdot0-(-1)\cdot1)=0+1=1\quad\text{(lembre do sinal negativo da expansão)},ã
\mathbf{k}:(0\cdot1-1\cdot1)=0-1=-1.
Portanto, observando o sinal no termo de \mathbf{j},
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(1,-1,-1)=\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}.

Passo 4

Verificar que o vetor encontrado é realmente ortogonal a \mathbf{a} e \mathbf{b}.
  • Produto escalar com \mathbf{a}=(0,1,-1):
(1,-1,-1)\cdot(0,1,-1)=1\cdot0+(-1)\cdot1+(-1)\cdot(-1)=0-1+1=0.
  • Produto escalar com \mathbf{b}=(1,1,0):
(1,-1,-1)\cdot(1,1,0)=1\cdot1+(-1)\cdot1+(-1)\cdot0=1-1+0=0.
Como ambos os produtos escalares são zero, o vetor (1,-1,-1) é de fato perpendicular a \mathbf{a} e \mathbf{b}.

Passo 5

Normalizar o vetor para obter vetores unitários.
  • Norma (comprimento) do vetor (1,-1,-1):
\|\,(1,-1,-1)\,\|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1+1}=\sqrt{3}.
  • Dividindo pelo comprimento, um vetor unitário na mesma direção é
\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,-1)=\frac{1}{\sqrt{3}}(\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}).
  • O oposto também é unitário e ainda ortogonal aos dois dados:
-\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,-1)=-\frac{1}{\sqrt{3}}(\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k}).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}(\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k})
\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{3}}(\mathbf{i}-\mathbf{j}-\mathbf{k})

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