Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais a \mathbf{j}-\mathbf{k} \mathrm{e} \mathbf{i}+\mathbf{j}.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
Pede: "Determine dois vetores unitários que sejam ortogonais a \mathbf{j}-\mathbf{k} e \mathbf{i}+\mathbf{j}". Ou seja, encontrar vetores de comprimento 1 que sejam perpendiculares aos dois vetores dados ao mesmo tempo.
Dados (escrevendo nas coordenadas canônicas):
\mathbf{a}=\mathbf{j}-\mathbf{k}=(0,1,-1).
\mathbf{b}=\mathbf{i}+\mathbf{j}=(1,1,0).
Passo 2
O que significa "ortogonal a \mathbf{a} e \mathbf{b}" e qual método usar.
Definição: um vetor \mathbf{w} é ortogonal (perpendicular) a outro vetor \mathbf{v} se o produto escalar \mathbf{w}\cdot\mathbf{v}=0. O produto escalar entre (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) é \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2.
Método prático: em \mathbb{R}^3, um vetor que é ortogonal simultaneamente a \mathbf{a} e \mathbf{b} é dado pelo produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b}. O produto vetorial de dois vetores fornece um vetor perpendicular a ambos. Depois basta normalizar (dividir pela norma) para obter um vetor unitário. Haverá duas escolhas unitárias possíveis: \pm do vetor normalizado (opostos).
Passo 3
Calcular o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b}. Vou usar a representação em determinante com os versores \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}: