a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 \mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z}, \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+2 \mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(x+2 y-z, 3 x-y+4 z, 2 x+z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(\frac{\mathrm{r}}{2}, \theta^{2}+\frac{\pi}{6}\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?
Passo 1
O enunciado pede:
a) Definir transformação linear e núcleo de transformação linear.
b) Determinar se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} com \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(2\mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z},\;\mathrm{x}+3\mathrm{y}+2\mathrm{z}) é linear. (Observação: o enunciado escreveu \mathbb{R}^2 mas deu três coordenadas; vou tomar a forma dada e assumir o domínio correto \mathbb{R}^3, pois há três entradas \mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}.)
c) Determinar se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} com \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(x+2y-z,\;3x-y+4z,\;2x+z) é linear.
d) Determinar se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada em coordenadas polares por \mathrm{T}(r,\theta)=\big(\tfrac{r}{2},\;\theta^{2}+\tfrac{\pi}{6}\big), com \mathrm{T}(0)=0, é linear. (Aqui (r,\theta) são coordenadas polares de (x,y).)
e) Para uma das transformações lineares acima (escolher uma que seja linear), determinar núcleo, imagem, nulidade e posto (ordem) e responder se é bijetora.
Informações relevantes dadas: expressões das transformações em coordenadas; para (b) corrigi o domínio para \mathbb{R}^3 por coerência; em (d) há termo quadrático em \theta e uma constante \tfrac{\pi}{6}.
Próximo passo: definir formalmente os conceitos e depois testar cada transformação.
Passo 2
Definições e intuição (com calma, como se estivéssemos no quadro).
Definição de transformação linear: uma aplicação T entre espaços vetoriais T:V\to W é linear se, para quaisquer vetores u,v\in V e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v)
T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
Essas duas propriedades encapsulam que T preserva soma e multiplicação por escalar. Uma forma compacta: T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v) para quaisquer escalares \alpha,\beta.
Intuição: uma transformação linear não adiciona constantes nem aplica funções não-lineares (como quadrado, seno, etc.) às coordenadas; ela combina as coordenadas por somas e multiplicações por escalares fixos (isso corresponde a multiplicação por uma matriz).
Núcleo (kernel): o núcleo de T é o conjunto de vetores do domínio que vão para o vetor zero no contradomínio:
\ker(T)=\{v\in V \mid T(v)=0\}.
É um subespaço de V. A dimensão do núcleo é a nulidade (nullity). Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem (rank-nullity), para T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im} T)=n,
onde \operatorname{Im} T é a imagem (coluna espaço) e sua dimensão é o posto (rank).
Passo 3
Verificação de linearidade para a transformação do item (b). (Lembrete: estou tratando o domínio como \mathbb{R}^3 porque há três coordenadas.)
Escrevo T em forma matricial: para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
Propriedade fundamental: multiplicação matricial é linear, ou seja, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e escalar \alpha,
A(u+v)=Au+Av,\qquad A(\alpha u)=\alpha (Au).
Portanto T satisfaz as duas propriedades de linearidade. Conclusão: a transformação do item (b) é linear. (Explicação extra: cada componente é uma combinação linear das coordenadas sem termos independentes.)]
Passo 4
Verificação de linearidade para a transformação do item (c).
Escrevo T em forma matricial: para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
De novo, é produto de uma matriz por um vetor. Como multiplicação matricial preserva soma e multiplicação por escalar, T satisfaz
T(u+v)=T(u)+T(v),\qquad T(\alpha u)=\alpha T(u).
Conclusão: a transformação do item (c) é linear.]
Passo 5
Verificação de linearidade para a transformação do item (d) — aqui é onde a coisa desanda. Vou mostrar um contraexemplo simples que quebra a propriedade de multiplicação por escalar.
A transformação é dada em coordenadas polares: para (r,\theta),
Por outro lado, 2\,T(1,0)=2\cdot\big(\tfrac{1}{2},\tfrac{\pi}{6}\big)=\big(1,\tfrac{\pi}{3}\big). Como as segundas componentes não coincidem (\tfrac{\pi}{6}\neq\tfrac{\pi}{3}), a propriedade T(2v)=2T(v) falha.
Portanto a transformação do item (d) não é linear. Observação: o fato de terem especificado T(0)=0 não salva a linearidade — muitas aplicações não-lineares podem enviar o zero para zero.
Passo 6
Escolha da transformação para a parte (e) e justificativa do método.
Há duas transformações lineares entre as dadas: as dos itens (b) e (c). Vou escolher a transformação do item (b) para calcular núcleo, imagem, nulidade e posto — justificativa: domínio em \mathbb{R}^3 e contradomínio em \mathbb{R}^2 tornam os cálculos diretos (sistemas 2 equações, 3 incógnitas), o que é ideal para uma resolução “na prova” sem calculadora. Além disso ilustra bem rank-nullity.
Passo 7
Calcular núcleo de T\) (item (b)).
- Reescrevendo \(T\) com a matriz \(A\):
\[A=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\[4pt]1 & 3 & 2\end{pmatrix},\qquad T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
Precisamos resolver A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}, ou seja o sistema
Resolvo passo a passo: da primeira equação isolamos z\]:
\[z=2x+y.\]
Substituo na segunda:
\[x+3y+2(2x+y)=x+3y+4x+2y=5x+5y=0.\]
Isso dá
\[5(x+y)=0\implies x+y=0\implies y=-x.\]
- Com \(y=-x obtemos z=2x+y=2x+(-x)=x. Logo todas as soluções são da forma
Encontrar a nulidade (dimensão do núcleo) e verificar o posto (rank) e a imagem.
A nulidade é a dimensão do núcleo. Aqui \ker(T) é gerado por um vetor não-nulo, então
\text{nulidade}=\dim(\ker T)=1.
Pelo teorema rank-nullity para T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,
\dim(\operatorname{Im} T)+\dim(\ker T)=3.
Assim
\dim(\operatorname{Im} T)=3-\dim(\ker T)=3-1=2.
Como a imagem é um subespaço de \mathbb{R}^2 de dimensão 2, segue que \operatorname{Im} T=\mathbb{R}^2. Ou seja, o posto (rank) é 2. (Podemos também ver isso observando que as duas primeiras colunas de A, \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}, são linearmente independentes — determinante 2\cdot3-1\cdot1=5\neq0.)
Passo 9
Verificar se a transformação escolhida (item (b)) é injetora, sobrejetora, bijetora.
Injetividade: T é injetora se \ker(T)=\{0\}. Aqui \ker(T) tem dimensão 1 e contém vetores não-nulos (por exemplo (1,-1,1)), logo T não é injetora.
Sobrejetividade: como \operatorname{Im} T=\mathbb{R}^2, T é sobrejetora.
Bijetividade: para ser bijetora precisa ser injetora e sobrejetora simultaneamente. Como não é injetora, T não é bijetora.
Resposta
a) Transformação linear: T:V\to W é linear se para quaisquer u,v\in V e \alpha\in\mathbb{R} tivermos T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u).
Núcleo: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
b) A transformação (com domínio \mathbb{R}^3) é linear.
c) A transformação é linear.
d) A transformação não é linear (contraexemplo com escalares: T(2\cdot(1,0))\neq 2T(1,0)).
e) Para a transformação do item (b): \ker(T)=\operatorname{span}\{(1,-1,1)\} \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^2
nulidade =1
posto (ordem) =2
a transformação não é bijetora.