a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 \mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z}, \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+2 \mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(x+2 y-z, 3 x-y+4 z, 2 x+z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(\frac{\mathrm{r}}{2}, \theta^{2}+\frac{\pi}{6}\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?

Passo 1

  • O enunciado pede:
    a) Definir transformação linear e núcleo de transformação linear.
    b) Determinar se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} com \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(2\mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z},\;\mathrm{x}+3\mathrm{y}+2\mathrm{z}) é linear. (Observação: o enunciado escreveu \mathbb{R}^2 mas deu três coordenadas; vou tomar a forma dada e assumir o domínio correto \mathbb{R}^3, pois há três entradas \mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z}.)
    c) Determinar se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} com \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(x+2y-z,\;3x-y+4z,\;2x+z) é linear.
    d) Determinar se \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada em coordenadas polares por \mathrm{T}(r,\theta)=\big(\tfrac{r}{2},\;\theta^{2}+\tfrac{\pi}{6}\big), com \mathrm{T}(0)=0, é linear. (Aqui (r,\theta) são coordenadas polares de (x,y).)
    e) Para uma das transformações lineares acima (escolher uma que seja linear), determinar núcleo, imagem, nulidade e posto (ordem) e responder se é bijetora.
  • Informações relevantes dadas: expressões das transformações em coordenadas; para (b) corrigi o domínio para \mathbb{R}^3 por coerência; em (d) há termo quadrático em \theta e uma constante \tfrac{\pi}{6}.
  • Próximo passo: definir formalmente os conceitos e depois testar cada transformação.

Passo 2

Definições e intuição (com calma, como se estivéssemos no quadro).
  • Definição de transformação linear: uma aplicação T entre espaços vetoriais T:V\to W é linear se, para quaisquer vetores u,v\in V e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v)
T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
Essas duas propriedades encapsulam que T preserva soma e multiplicação por escalar. Uma forma compacta: T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v) para quaisquer escalares \alpha,\beta.
  • Intuição: uma transformação linear não adiciona constantes nem aplica funções não-lineares (como quadrado, seno, etc.) às coordenadas; ela combina as coordenadas por somas e multiplicações por escalares fixos (isso corresponde a multiplicação por uma matriz).
  • Núcleo (kernel): o núcleo de T é o conjunto de vetores do domínio que vão para o vetor zero no contradomínio:
\ker(T)=\{v\in V \mid T(v)=0\}.
É um subespaço de V. A dimensão do núcleo é a nulidade (nullity). Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem (rank-nullity), para T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im} T)=n,
onde \operatorname{Im} T é a imagem (coluna espaço) e sua dimensão é o posto (rank).

Passo 3

Verificação de linearidade para a transformação do item (b). (Lembrete: estou tratando o domínio como \mathbb{R}^3 porque há três coordenadas.)
  • Escrevo T em forma matricial: para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
T(x,y,z)=\begin{pmatrix}2x+y-z\\[4pt] x+3y+2z\end{pmatrix}.
Isto corresponde à multiplicação por uma matriz A\in\mathbb{R}^{2\times 3}:
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 3 & 2\end{pmatrix}, \qquad T(v)=A v.
  • Propriedade fundamental: multiplicação matricial é linear, ou seja, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e escalar \alpha,
A(u+v)=Au+Av,\qquad A(\alpha u)=\alpha (Au).
Portanto T satisfaz as duas propriedades de linearidade. Conclusão: a transformação do item (b) é linear. (Explicação extra: cada componente é uma combinação linear das coordenadas sem termos independentes.)]

Passo 4

Verificação de linearidade para a transformação do item (c).
  • Escrevo T em forma matricial: para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
T(x,y,z)=\begin{pmatrix}x+2y-z\\[4pt]3x-y+4z\\[4pt]2x+0y+z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 2 & -1\\[4pt]3 & -1 & 4\\[4pt]2 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{pmatrix}.
  • De novo, é produto de uma matriz por um vetor. Como multiplicação matricial preserva soma e multiplicação por escalar, T satisfaz
T(u+v)=T(u)+T(v),\qquad T(\alpha u)=\alpha T(u).
Conclusão: a transformação do item (c) é linear.]

Passo 5

Verificação de linearidade para a transformação do item (d) — aqui é onde a coisa desanda. Vou mostrar um contraexemplo simples que quebra a propriedade de multiplicação por escalar.
  • A transformação é dada em coordenadas polares: para (r,\theta),
T(r,\theta)=\Big(\tfrac{r}{2},\;\theta^{2}+\tfrac{\pi}{6}\Big),
e adicionalmente está especificado \,T(0)=0. Note que há um termo \theta^{2} (não linear em \theta) e uma constante \tfrac{\pi}{6}.
  • Teste de multiplicação por escalar: tomo o vetor polar (r,\theta)=(1,0). Então
T(1,0)=\Big(\tfrac{1}{2},\;0^{2}+\tfrac{\pi}{6}\Big)=\Big(\tfrac{1}{2},\;\tfrac{\pi}{6}\Big).
Multiplicando por escalar 2 no domínio temos (2\cdot 1,\,0)=(2,0) e
T(2,0)=\Big(\tfrac{2}{2},\;0^{2}+\tfrac{\pi}{6}\Big)=\Big(1,\;\tfrac{\pi}{6}\Big).
Por outro lado, 2\,T(1,0)=2\cdot\big(\tfrac{1}{2},\tfrac{\pi}{6}\big)=\big(1,\tfrac{\pi}{3}\big). Como as segundas componentes não coincidem ( \tfrac{\pi}{6}\neq\tfrac{\pi}{3}), a propriedade T(2v)=2T(v) falha.
  • Portanto a transformação do item (d) não é linear. Observação: o fato de terem especificado T(0)=0 não salva a linearidade — muitas aplicações não-lineares podem enviar o zero para zero.

Passo 6

Escolha da transformação para a parte (e) e justificativa do método.
  • Há duas transformações lineares entre as dadas: as dos itens (b) e (c). Vou escolher a transformação do item (b) para calcular núcleo, imagem, nulidade e posto — justificativa: domínio em \mathbb{R}^3 e contradomínio em \mathbb{R}^2 tornam os cálculos diretos (sistemas 2 equações, 3 incógnitas), o que é ideal para uma resolução “na prova” sem calculadora. Além disso ilustra bem rank-nullity.

Passo 7

Calcular núcleo de T\) (item (b)). - Reescrevendo \(T\) com a matriz \(A\): \[A=\begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\[4pt]1 & 3 & 2\end{pmatrix},\qquad T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
  • Precisamos resolver A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}, ou seja o sistema
\begin{cases} 2x+y-z=0,\\[4pt] x+3y+2z=0. \end{cases}
  • Resolvo passo a passo: da primeira equação isolamos z\]: \[z=2x+y.\] Substituo na segunda: \[x+3y+2(2x+y)=x+3y+4x+2y=5x+5y=0.\] Isso dá \[5(x+y)=0\implies x+y=0\implies y=-x.\] - Com \(y=-x obtemos z=2x+y=2x+(-x)=x. Logo todas as soluções são da forma
(x,y,z)=\big(x,\,-x,\;x\big)=x\,(1,-1,1),\quad x\in\mathbb{R}.
  • Conclusão: o núcleo é
\ker(T)=\operatorname{span}\{(1,-1,1)\}.]

Passo 8

Encontrar a nulidade (dimensão do núcleo) e verificar o posto (rank) e a imagem.
  • A nulidade é a dimensão do núcleo. Aqui \ker(T) é gerado por um vetor não-nulo, então
\text{nulidade}=\dim(\ker T)=1.
  • Pelo teorema rank-nullity para T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,
\dim(\operatorname{Im} T)+\dim(\ker T)=3.
Assim
\dim(\operatorname{Im} T)=3-\dim(\ker T)=3-1=2.
  • Como a imagem é um subespaço de \mathbb{R}^2 de dimensão 2, segue que \operatorname{Im} T=\mathbb{R}^2. Ou seja, o posto (rank) é 2. (Podemos também ver isso observando que as duas primeiras colunas de A, \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix}, são linearmente independentes — determinante 2\cdot3-1\cdot1=5\neq0.)

Passo 9

Verificar se a transformação escolhida (item (b)) é injetora, sobrejetora, bijetora.
  • Injetividade: T é injetora se \ker(T)=\{0\}. Aqui \ker(T) tem dimensão 1 e contém vetores não-nulos (por exemplo (1,-1,1)), logo T não é injetora.
  • Sobrejetividade: como \operatorname{Im} T=\mathbb{R}^2, T é sobrejetora.
  • Bijetividade: para ser bijetora precisa ser injetora e sobrejetora simultaneamente. Como não é injetora, T não é bijetora.

Resposta

a) Transformação linear: T:V\to W é linear se para quaisquer u,v\in V e \alpha\in\mathbb{R} tivermos T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u).
Núcleo: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.
b) A transformação (com domínio \mathbb{R}^3) é linear.
c) A transformação é linear.
d) A transformação não é linear (contraexemplo com escalares: T(2\cdot(1,0))\neq 2T(1,0)).
e) Para a transformação do item (b):
\ker(T)=\operatorname{span}\{(1,-1,1)\}
\operatorname{Im}T=\mathbb{R}^2
nulidade =1
posto (ordem) =2
a transformação não é bijetora.

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