a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}, 2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+3 \mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(3 x-y, 2 x+y+z, 4 x+3 z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=\left(\mathrm{r}^{2}, 2 \theta\right), onde (r, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?
Passo 1
O enunciado pede as seguintes coisas:
(a) Definir o que é uma transformação linear e o que é o núcleo de uma transformação linear.
(b) Verificar se a transformação \mathrm{T} dada por \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(\mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z},\,2\mathrm{x}-\mathrm{y}+3\mathrm{z}) é linear. Observação: o enunciado escreveu \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 mas os argumentos usam três coordenadas (x,y,z). Vou interpretar essa transformação como \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2, que é a interpretação consistente com os componentes fornecidos.
(c) Verificar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dada por \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y},\mathrm{z})=(3x-y,\,2x+y+z,\,4x+3z) é linear.
(d) Verificar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida em coordenadas polares por \mathrm{T}(r,\theta)=(r^2,\,2\theta) (com \mathrm{T}(0)=0) é linear.
(e) Para uma das transformações lineares do item (b) ou (c), determinar núcleo, imagem, nulidade e ordem (posto) e responder se é bijetora.
Informações relevantes dadas:
Em (b) os componentes são combinações lineares das coordenadas (x,y,z) sem termos constantes — e interpreto domínio como \mathbb{R}^3.
Em (c) os componentes são combinações lineares das coordenadas (x,y,z).
Em (d) a transformação usa polar para produzir (r^2,2\theta) — há operação não linear em r (o quadrado) e manipulação do ângulo.
Passo 2
Definições e ideia de verificação (explicação didática e passo a passo).
Definição de transformação linear: uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores u,v do domínio e para qualquer escalar \alpha, valem as duas propriedades
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(\alpha v)=\alpha T(v).
Essas duas propriedades significam que T preserva soma e multiplicação por escalar. Uma forma prática: se os componentes de T são combinações lineares das coordenadas (ou seja, podem ser escritas como multiplicação por uma matriz sem termo constante), então T é linear.
Definição de núcleo (kernel): o núcleo de T, denotado \ker(T), é o conjunto de vetores do domínio que são enviados para o vetor zero do contradomínio:
\ker(T)=\{v\mid T(v)=0\}.
O núcleo é um subespaço vetorial. A nulidade é a dimensão de \ker(T).
Imagem (ou alcance): \operatorname{Im}(T)=\{T(v)\mid v\text{ no domínio}\}. O posto (ordem) é \dim(\operatorname{Im}(T)).
Teorema útil (teorema posto–nulidade): para T: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,
\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=n.
Isto ajuda a encontrar o posto se conhecemos a nulidade, e vice‑versa.
Estratégia prática para verificar linearidade: escrever T como T(v)=A v com uma matriz A. Se os componentes são somas de coeficientes multiplicando as coordenadas e não há termos constantes, então existe tal matriz e T é linear. Para provar não linearidade, basta dar um contraexemplo mostrando falha em uma das propriedades acima (soma ou escalar).
Passo 3
Verificação do item (b). Interpretação: \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 com
\mathrm{T}(x,y,z)=(x+y+z,\;2x-y+3z).
Escrevemos T na forma matricial. A matriz A que representa T (multiplicando o vetor coluna (x,y,z)^T) é
Então, para qualquer vetor v=(x,y,z)^T temos T(v)=A v. Como A é uma matriz (sem termos constantes), T preserva soma e multiplicação por escalar — isto é, T satisfaz T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha v)=\alpha T(v) por propriedades da multiplicação matricial. Conclusão: a transformação do item (b) é linear.
(Comentário intuitivo: cada componente é uma combinação linear das coordenadas sem termo constante; essa é a “marca” de linearidade.)]
Passo 4
Verificação do item (c).
A transformação é \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 dada por
Como acima, T(v)=Bv e não há termos constantes, portanto T preserva soma e multiplicação por escalar. Conclusão: a transformação do item (c) é linear.]
Passo 5
Verificação do item (d) — mostrar que não é linear (contraexemplo).
A transformação é dada em coordenadas polares por \mathrm{T}(r,\theta)=(r^2,\,2\theta) e \mathrm{T}(0)=0.
Para testar linearidade, é suficiente testar a propriedade de homogeneidade por escalares. Tome o vetor cujo coordenadas polares são (r,\theta)=(1,0). Esse vetor em cartesiano é (1,0), mas trabalhamos em polares como proposto.
Calcule \mathrm{T}(1,0)=(1^2,\,2\cdot 0)=(1,0).
O vetor 2(1,0) (escalar 2 vezes o vetor) tem coordenadas polares (2,0) (o raio dobra, o ângulo permanece). Então
Como \mathrm{T}(2(1,0))=(4,0)\neq(2,0)=2\mathrm{T}(1,0), a propriedade \mathrm{T}(\alpha v)=\alpha \mathrm{T}(v) falha. Portanto \mathrm{T} do item (d) não é linear.
(Intuição: o termo r^2 é quadrático — não se comporta bem com escala — e a manipulação do ângulo também não é linear na estrutura vetorial usual.)
Passo 6
Escolha para o item (e) e justificativa. Vou escolher a transformação do item (c) (a de [\mathbb{R}^3) para \mathbb{R}^3) porque é linear e a matriz é quadrada, o que facilita verificar núcleo, imagem, nulidade e posto e decidir bijetividade. Agora calculamos tudo passo a passo.
Passo 6.1 — escrever o sistema para o núcleo: procuramos (x,y,z) tais que B(x,y,z)^T=0. Isto é, resolver o sistema linear
Explique cada equação: cada linha é um componente de (T(x,y,z)=0].
Passo 6.2 — resolver o sistema explicitamente (substituição direta).
Da primeira equação temos \;y=3x.
Substituindo na segunda: 2x+(3x)+z=0\Rightarrow 5x+z=0\Rightarrow z=-5x.
Substituindo z=-5x na terceira: 4x+3(-5x)=4x-15x=-11x=0. Logo x=0.
Com x=0 obtemos y=3\cdot 0=0 e z=-5\cdot 0=0. Portanto a única solução é o vetor nulo.
Passo 6.3 — conclusão sobre o núcleo e nulidade.
\ker(T)=\{(0,0,0)\}.
A nulidade é \dim(\ker(T))=0.
Passo 6.4 — obter o posto (ordem) usando posto–nulidade.
O domínio tem dimensão 3. Pelo teorema posto–nulidade,
\dim(\operatorname{Im}(T))+\dim(\ker(T))=3.
Como \dim(\ker(T))=0, segue \dim(\operatorname{Im}(T))=3. Assim o posto (ordem) é 3.
Passo 6.5 — descrição da imagem.
Como a imagem tem dimensão 3 em \mathbb{R}^3, ela é todo \mathbb{R}^3:
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3.
(Mais intuição: a matriz B é invertível; uma checagem rápida é calcular o determinante para confirmar não‑singularidade.)
Passo 6.6 — verificação extra (determinante) — apoio à conclusão de invertibilidade.
Calculando o determinante de
Calcule: \det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 3\end{pmatrix}=1\cdot 3-1\cdot 0=3. E \det\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 4 & 3\end{pmatrix}=2\cdot 3-1\cdot 4=6-4=2. Logo
\det(B)=3\cdot 3 + 1\cdot 2 =9+2=11\neq 0.
Determinante não nulo confirma que B é invertível, então \ker(T)=\{0\} e \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3.
Passo 6.7 — bijetividade.
Uma transformação linear entre espaços de mesma dimensão é bijetora se e somente se é injetora (ou equivalente, se a matriz é invertível). Como \ker(T)=\{0\} (injetora) e \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3 (sobrejetora), concluímos que a transformação do item (c) é bijetora.]
Resposta
(a) Transformação linear: uma aplicação T entre espaços vetoriais tal que, para todos u,v e todo escalar \alpha,
(b) A transformação \mathrm{T}(x,y,z)=(x+y+z,\;2x-y+3z) (interpretada como \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2) é linear.
(c) A transformação \mathrm{T}(x,y,z)=(3x-y,\;2x+y+z,\;4x+3z) é linear.
(d) A transformação \mathrm{T}(r,\theta)=(r^2,\,2\theta) não é linear (contraexemplo com (r,\theta)=(1,0)).
(e) Para a transformação do item (c): \ker(T)=\{(0,0,0)\}. \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3.
Nulidade =\dim(\ker(T))=0.
Ordem (posto) =\dim(\operatorname{Im}(T))=3.
É bijetora? Sim (a transformação é invertível).