1. a) Defina transformação linear e núcleo de transformação linear.
Determine se as transformações, abaixo, são transformações lineares.
b) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}+2 \mathrm{y}-\mathrm{z}, 3 \mathrm{x}+\mathrm{y}+4 \mathrm{z})
c) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(2 x+y, 4 x-3 y+2 z, x+z)
d) \mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \mathrm{~T}(\mathrm{r}, \theta)=(\mathrm{r},|\theta|), onde ( \mathrm{r}, \theta ) são as coordenadas polares de ( x, y ), e T(0)=0
e) Para uma das transformações lineares acima, determine núcleo, imagem, nulidade e ordem. Esta transformação linear é bijetora?

Passo 1

  • O enunciado pede:
    a) Definir o que é uma transformação linear e o núcleo (kernel) de uma transformação linear.
    b) Verificar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por \mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y-z,\;3x+y+4z) é linear.
    c) Verificar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dada por \mathrm{T}(x,y,z)=(2x+y,\;4x-3y+2z,\;x+z) é linear.
    d) Verificar se a transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} dada por \mathrm{T}(r,\theta)=(r,|\theta|), onde (r,\theta) são as coordenadas polares de (x,y) (e \mathrm{T}(0)=0), é linear.
    e) Para uma das transformações lineares acima, determinar núcleo, imagem, nulidade e ordem (posto/rank). Dizer se é bijetora.
  • Observação sobre o item (b): o enunciado escreve domínio \mathbb{R}^2 mas a entrada tem três coordenadas (x,y,z). Inferindo que há um erro tipográfico, vou entender que a transformação (b) é \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 com \mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y-z,\;3x+y+4z). Vou usar essa interpretação para resolver (não perguntei nada, apenas inferi como indicado).

Passo 2

Definições (didática, devagar e com exemplos):
  • Definição de transformação linear: uma aplicação T entre espaços vetoriais T:V\to W é linear se, para quaisquer vetores u,v\in V e qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades juntas (ou a propriedade combinada): T(u+v)=T(u)+T(v)
T(\alpha u)=\alpha T(u)
Equivalentemente, para quaisquer escalares \alpha,\beta e vetores u,v,
T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v).
Intuição prática: uma transformação linear preserva soma e multiplicação por escalar. Outra forma de reconhecer é que, se T pode ser escrita como multiplicação por uma matriz com respeito às coordenadas, então T é linear (não pode haver termos constantes independentes das coordenadas).
Exemplo simples: T(x,y)=(2x,3y) é linear; S(x,y)=(2x+1,3y) não é linear porque tem uma constante.
  • Definição de núcleo (kernel): para T:V\to W, o núcleo é o conjunto de vetores de V que são enviados ao vetor zero de W: \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.O núcleo é sempre um subespaço de V. Se \ker(T)=\{0\}, então T é injetora (naquele contexto de espaços vetoriais).
  • Conceitos relacionados (explicação curta):
    • Imagem (ou alcance): \mathrm{Im}(T)=\{T(v)\mid v\in V\}, subespaço de W.
    • Nulidade (nullity): dimensão de \ker(T).
    • Posto (rank ou “ordem” no enunciado): dimensão de \mathrm{Im}(T).
    • Teorema fundamental (rank-nullity): para T: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m, \dim(\ker T) + \dim(\mathrm{Im} T) = n.
    Vou usar isso depois para checar consistência dos resultados.

Passo 3

Método prático para verificar linearidade (passo-a-passo que você pode aplicar na prova):
  1. Identificar se cada componente de T é combinação linear das coordenadas sem termos constantes. Se sim (ou seja, se puder escrever T(x)=A x para alguma matriz A), então é linear.
  2. Se houver qualquer operação não linear (por exemplo |\cdot|, \sin, produto de coordenadas, ângulo com valor absoluto, etc.), tente um contraexemplo: verifique homogeneidade com \alpha=-1 ou aditividade com vetores simples.
  3. Formalmente, você pode verificar que para vetores genéricos u,v e escalares a,b, T(au+bv)=aT(u)+bT(v). Se falhar para algum caso, não é linear.
Agora aplico isso a cada item.

Passo 4

Verificação do item (b).
  • A transformação (interpretada como) \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 é dada por \mathrm{T}(x,y,z) = (x+2y-z,\;3x+y+4z).
  • Posso representar T por multiplicação por matriz: A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1\\[4pt] 3 & 1 & 4 \end{pmatrix},de modo que, para \mathbf{v}=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}, T(\mathbf{v})=A\mathbf{v}.
  • Raciocínio: cada componente é uma combinação linear das coordenadas x,y,z sem termos constantes. Isso já garante que T preserva soma e multiplicação por escalar (porque multiplicação por matriz tem essas propriedades).
  • Conclusão: a transformação do item (b) é linear.]

Passo 5

Verificação do item (c).
  • A transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é \mathrm{T}(x,y,z)=(2x+y,\;4x-3y+2z,\;x+z).
  • Matriz associada: A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 4 & -3 & 2\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},tal que T(\mathbf{v})=A\mathbf{v}.
  • Novamente, cada componente é combinação linear das coordenadas sem termos constantes, logo T é linear.
  • Conclusão: a transformação do item (c) é linear.]

Passo 6

Verificação do item (d).
  • A transformação é dada em coordenadas polares: para o vetor (x,y)\in\mathbb{R}^2 com coordenadas polares (r,\theta) (ou seja, x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta), define-se T(r,\theta)=(r,|\theta|),e foi dada a condição T(0)=0.
  • Observação: T toma como entrada as coordenadas polares e devolve o par (r,|\theta|)\in\mathbb{R}^2. Para testar linearidade, basta demonstrar que a homogeneidade falha para algum escalar (por exemplo \alpha=-1).
  • Contraexemplo explícito (numérico e simples):
    • Considere o vetor \mathbf{v} com coordenadas polares \big(r=1,\;\theta=-\tfrac{\pi}{4}\big). Ou seja, \mathbf{v} é o vetor de módulo 1 e ângulo -\tfrac{\pi}{4}.
    • Então T(\mathbf{v})=\big(1,\;|\!-\tfrac{\pi}{4}\!|\big)=(1,\tfrac{\pi}{4}).
    • Agora multiplique por -1: o vetor -\mathbf{v} tem coordenadas polares \big(r=1,\;\theta=-\tfrac{\pi}{4}+\pi\big)=\big(1,\tfrac{3\pi}{4}\big) (porque multiplicar por -1 gira o ângulo em \pi).
    • Logo T(-\mathbf{v})=(1,\tfrac{3\pi}{4}).
    • Se T fosse linear, teríamos T(-\mathbf{v})=-T(\mathbf{v}). Mas -T(\mathbf{v}) = -(1,\tfrac{\pi}{4}) = (-1,\,-\tfrac{\pi}{4}),que é claramente diferente de (1,\tfrac{3\pi}{4}).
  • Portanto a homogeneidade não vale e T não é linear.
  • Intuição: o valor absoluto em |\theta| quebra a propriedade de multiplicação por escalares e também a aditividade — ângulos não se combinam linearmente com valor absoluto.

Passo 7

Parte (e): escolher uma das transformações lineares e determinar núcleo, imagem, nulidade e ordem; verificar bijetividade.
  • Vou escolher a transformação do item (c), pois é uma transformação \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 representada pela matriz A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 4 & -3 & 2\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.Vou achar \ker(T), \mathrm{Im}(T), nulidade e posto (ordem).
  • Resolver \ker(T): procurar \mathbf{v}=(x,y,z)^T tal que A\mathbf{v}=\mathbf{0}. Montamos o sistema e fazemos eliminação: \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 4 & -3 & 2\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Efetuando eliminação por linhas (vou mostrar as operações):
    1. Troco a primeira linha pela terceira para ter um pivô 1 logo no começo: \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 4 & -3 & 2\\[4pt] 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
    2. Elimino abaixo do pivô da primeira coluna:
      • R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1 R_2=(0,\,-3,\,-2).
      • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 R_3=(0,\,1,\,-2).
        Resultado:
      \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -3 & -2\\[4pt] 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}.
    3. Elimino o elemento 1 em R_3 usando R_2. Por exemplo R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac{1}{3}R_2:
      • \tfrac{1}{3}R_2=(0,-1,-\tfrac{2}{3}).
      • R_3 + \tfrac{1}{3}R_2=(0,0,-\tfrac{8}{3}).
        Resultado escalonado:
      \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & -3 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{8}{3} \end{pmatrix}.
  • Temos três pivôs não-nulos (nas colunas 1, 2 e 3). Isso significa que o sistema homogêneo só tem a solução trivial x=y=z=0.
  • Portanto \ker(T)=\{\mathbf{0}\}.A nulidade (dimensão do núcleo) é \dim(\ker T)=0.
  • O número de pivôs é 3, logo o posto (rank) de A é 3: \mathrm{rank}(A)=\dim(\mathrm{Im} T)=3.
  • Como a imagem tem dimensão 3 em \mathbb{R}^3, a imagem é todo \mathbb{R}^3: \mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^3.
  • Pelo Teorema do posto e nulidade: \dim(\ker T)+\dim(\mathrm{Im} T)=0+3=3, que coincide com a dimensão do domínio \mathbb{R}^3.
  • Consequência sobre bijetividade: como \ker(T)=\{0\} (injeção) e \mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^3 (sobrescrição), T é bijetora. Em termos de matriz, A é invertível.]

Resposta

(a) Uma transformação linear T:V\to W satisfaz T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u) para todos u,v\in V e \alpha\in\mathbb{R}. O núcleo (kernel) é \ker(T)=\{v\in V\mid T(v)=0\}.\n
(b) A transformação \mathrm{T}(x,y,z)=(x+2y-z,\;3x+y+4z) (interpretada como \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2) é linear.\n
(c) A transformação \mathrm{T}(x,y,z)=(2x+y,\;4x-3y+2z,\;x+z) é linear.\n
(d) A transformação \mathrm{T}(r,\theta)=(r,|\theta|) não é linear (contraexemplo com (r,\theta)=(1,-\tfrac{\pi}{4}) mostra que homogeneidade falha).\n
(e) Para a transformação do item (c): \ker(T)=\{\mathbf{0}\}, \mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^3, nulidade =0, posto (ordem) =3. Esta transformação é bijetora.

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