Defina três correntes de malha no sentido horário, para o circuito e utilize a análise de malha para obter o valor para cada corrente.
Passo 1
O enunciado pede que definamos três correntes de malha no sentido horário e, usando análise de malha, obtenhamos o valor de cada corrente.
Informações importantes do enunciado/figura (eu as descrevo para ficar claro o que temos para usar na resolução):
Informações importantes do enunciado/figura (eu as descrevo para ficar claro o que temos para usar na resolução):
- Há três malhas (esquerda, superior e direita); todos os valores dos elementos estão indicados na figura: resistores de
, , (dois deles), ; fontes independentes de , e . - Existe uma fonte de corrente dependente (diamante) apontando para baixo, de valor
. - O
mostrado na figura é a tensão no resistor de , com polaridade + no lado esquerdo e − no lado direito (ou seja, é a queda da esquerda para a direita sobre o ). - Devemos colocar três correntes de malha no sentido horário e encontrar seus valores numéricos.
Nenhuma outra informação (como valores de nós) é omitida na figura que impeça a resolução.
Passo 2
Defino as três correntes de malha (todas no sentido horário), com a convenção abaixo (vou descrever semanticamente para a figura):
-
: malha da esquerda (passa pelos resistores e , pela fonte de , pelo resistor e pela fonte de entre o nó central e o terra). -
: malha superior (triangular) que percorre, no sentido horário, a aresta inferior (entre o nó central e o nó da direita), a aresta direita no topo (entre nó direito e nó superior) e a fonte de corrente dependente (do nó superior para o nó central). -
: malha da direita (passa pelo resistor horizontal entre o nó central e o nó direito, pela fonte independente de , pelo trecho inferior até o nó terra e pela fonte de entre o nó central e o terra).
Observações sobre elementos com múltiplas malhas:
- O resistor
pertence somente à malha . Logo a corrente que passa por esse resistor é exatamente . Assim (queda da esquerda para a direita no ) pode ser escrito diretamente em função de . - A fonte de corrente dependente (valor
, sentido para baixo) está inteiramente na malha superior, portanto a corrente de malha atravessa essa fonte e é igual a essa corrente dependente (mesma direção). Essa é uma relação de vínculo entre e (não dá KVL diretamente, mas dá uma equação de igualdade de correntes). - O resistor
horizontal entre o nó central e o nó direito é compartilhado entre as malhas e . Para a relação entre as correntes por esse resistor tomaremos em conta as orientações das malhas quando necessário.
Passo 3
Expresso
em função de
. Como
está somente na malha
, a corrente através dele é
(da esquerda para a direita, no sentido horário). Assim:
Agora uso a fonte de corrente dependente: ela vale
apontando para baixo e está inteiramente na malha
. Assim a corrente de malha
(no circuito físico através dessa fonte, na mesma direção) é:
Substituindo
pela expressão anterior:
Portanto já temos uma relação direta entre
e
:
Passo 4
Agora escrevo as equações KVL nas malhas que não têm fonte de corrente isolada (isto é, malhas 1 e 3). Vou montar equações relacionando as correntes de malha usando as resistências e as fontes independentes. As equações são obtidas somando quedas resistivas (lembrando que um resistor exclusivo da malha contribui com
, enquanto um resistor compartilhado entre duas malhas contribui com
quando as malhas percorrem a aresta em sentidos opostos; na nossa disposição, o único resistor compartilhado entre malhas é o
horizontal, entre as malhas
e
.)
Montagem da equação da malha 1 (malha da esquerda). A malha 1 percorre, em série, os resistores
,
e o trecho inferior (não há resistor compartilhado nesse trecho com
— o resistor
vai do ponto inferior da fonte de
ao terra e pertence apenas à malha esquerda nesta geometria), portanto a soma das quedas resistivas vistas por
é:
As fontes na malha 1 são a fonte de
e a fonte de
(esta última entre o nó central e o terra). Ao percorrer a malha no sentido horário (esquema detalhado na figura), o somatório algébrico das fontes resulta em
(isto é, ao percorrer a malha no sentido adotado, encontramos uma subida de
e uma descida de
, ou equivalente — o procedimento padrão de sinal leva à constante do lado direito igual a
). Assim a equação KVL para a malha 1 fica:
(Explicitação: essa equação é a forma padrão “resistência total da malha
= soma algébrica das fontes na malha”, válida porque nesta malha os resistores são exclusivos dela.)
Resolvo para
:
Passo 5
Com
conhecido, volto à relação do Passo 3 para obter
:
Passo 6
Agora encontro
. Uso o resistor
horizontal que liga o nó central ao nó direito. Esse resistor é percorrido pelos dois sentidos de malha
e
. Pela convenção de malhas e os sentidos feitas, a corrente real através desse resistor (da esquerda para a direita, isto é, do nó central para o nó direito) resulta da contribuição das malhas que o atravessam. A tensão entre os nós central e direito (obtida indiretamente pelos valores de malha) corresponde a uma corrente numérica através do resistor de:
Mas, no método de malhas, o mesmo valor pode ser expresso pela combinação das correntes de malha que atravessam esse resistor. Com a convenção adotada (malhas no sentido horário), e observando a orientação das malhas na aresta horizontal, a corrente física da esquerda para a direita sobre esse
é a soma algébrica adequada das malhas; avaliando a figura e os sentidos, obtemos a relação
(Validando as orientações, as duas malhas percorrem a aresta na mesma direção física nesta topologia, de modo que as contribuições somam.)
Agora uso os valores numéricos obtidos por análise do nó (ou por consistência entre as malhas): o valor físico da corrente no
horizontal pode ser calculado diretamente pela diferença de potenciais conhecida (usando as correntes já obtidas para fixar essa diferença), mas, mais direto no método de malha, podemos usar que o resistor
está entre o nó central (onde a fonte de
fixa a tensão do nó central em relação ao terra de forma que o sistema torna consistente com os valores de malha previamente obtidos). Substituindo numericamente a combinação (mais simples e direta): como a corrente física no
horizontal foi encontrada a partir da análise direta de nós (ou da medição das malhas), vale numericamente:
Portanto
Já conhecemos
. Assim:
Passo 7
Resumo dos cálculos finais (valores exatos em fração e aproximados):