Defina três correntes de malha no sentido horário, para o circuito e utilize a análise de malha para obter o valor para cada corrente.

Passo 1

O enunciado pede que definamos três correntes de malha no sentido horário e, usando análise de malha, obtenhamos o valor de cada corrente.
Informações importantes do enunciado/figura (eu as descrevo para ficar claro o que temos para usar na resolução):
  • Há três malhas (esquerda, superior e direita); todos os valores dos elementos estão indicados na figura: resistores de 2\:\Omega, 9\:\Omega, 10\:\Omega (dois deles), 3\:\Omega; fontes independentes de 2\:\text{V}, 1\:\text{V} e 5\:\text{V}.
  • Existe uma fonte de corrente dependente (diamante) apontando para baixo, de valor 0{,}5\,v_x.
  • O v_x mostrado na figura é a tensão no resistor de 9\:\Omega, com polaridade + no lado esquerdo e − no lado direito (ou seja, v_x é a queda da esquerda para a direita sobre o 9\:\Omega).
  • Devemos colocar três correntes de malha no sentido horário e encontrar seus valores numéricos.
    Nenhuma outra informação (como valores de nós) é omitida na figura que impeça a resolução.

Passo 2

Defino as três correntes de malha (todas no sentido horário), com a convenção abaixo (vou descrever semanticamente para a figura):
  • \displaystyle I_1: malha da esquerda (passa pelos resistores 2\:\Omega e 9\:\Omega, pela fonte de 2\:\text{V}, pelo resistor 3\:\Omega e pela fonte de 1\:\text{V} entre o nó central e o terra).
  • \displaystyle I_2: malha superior (triangular) que percorre, no sentido horário, a aresta inferior 10\:\Omega (entre o nó central e o nó da direita), a aresta direita 10\:\Omega no topo (entre nó direito e nó superior) e a fonte de corrente dependente (do nó superior para o nó central).
  • \displaystyle I_3: malha da direita (passa pelo resistor 10\:\Omega horizontal entre o nó central e o nó direito, pela fonte independente de 5\:\text{V}, pelo trecho inferior até o nó terra e pela fonte de 1\:\text{V} entre o nó central e o terra).
Observações sobre elementos com múltiplas malhas:
  • O resistor 9\:\Omega pertence somente à malha I_1. Logo a corrente que passa por esse resistor é exatamente I_1. Assim v_x (queda da esquerda para a direita no 9\:\Omega) pode ser escrito diretamente em função de I_1.
  • A fonte de corrente dependente (valor 0{,}5\,v_x, sentido para baixo) está inteiramente na malha superior, portanto a corrente de malha I_2 atravessa essa fonte e é igual a essa corrente dependente (mesma direção). Essa é uma relação de vínculo entre I_2 e v_x (não dá KVL diretamente, mas dá uma equação de igualdade de correntes).
  • O resistor 10\:\Omega horizontal entre o nó central e o nó direito é compartilhado entre as malhas I_2 e I_3. Para a relação entre as correntes por esse resistor tomaremos em conta as orientações das malhas quando necessário.

Passo 3

Expresso v_x em função de I_1. Como 9\:\Omega está somente na malha I_1, a corrente através dele é I_1 (da esquerda para a direita, no sentido horário). Assim:
v_x = \text{queda no }9\:\Omega = 9\cdot I_1.
Agora uso a fonte de corrente dependente: ela vale 0{,}5\,v_x apontando para baixo e está inteiramente na malha I_2. Assim a corrente de malha I_2 (no circuito físico através dessa fonte, na mesma direção) é:
I_2 = 0{,}5\,v_x.
Substituindo v_x pela expressão anterior:
I_2 = 0{,}5\cdot(9 I_1) = \frac{9}{2}\,I_1.
Portanto já temos uma relação direta entre I_2 e I_1:
\boxed{I_2 = \dfrac{9}{2}\,I_1.}

Passo 4

Agora escrevo as equações KVL nas malhas que não têm fonte de corrente isolada (isto é, malhas 1 e 3). Vou montar equações relacionando as correntes de malha usando as resistências e as fontes independentes. As equações são obtidas somando quedas resistivas (lembrando que um resistor exclusivo da malha contribui com R\,I_k, enquanto um resistor compartilhado entre duas malhas contribui com R(I_k - I_j) quando as malhas percorrem a aresta em sentidos opostos; na nossa disposição, o único resistor compartilhado entre malhas é o 10\:\Omega horizontal, entre as malhas I_2 e I_3.)
Montagem da equação da malha 1 (malha da esquerda). A malha 1 percorre, em série, os resistores 2\:\Omega, 9\:\Omega e o trecho inferior (não há resistor compartilhado nesse trecho com I_3 — o resistor 3\:\Omega vai do ponto inferior da fonte de 2\:\text{V} ao terra e pertence apenas à malha esquerda nesta geometria), portanto a soma das quedas resistivas vistas por I_1 é:
(2 + 9 + 3)\,I_1 = 14\,I_1.
As fontes na malha 1 são a fonte de 2\:\text{V} e a fonte de 1\:\text{V} (esta última entre o nó central e o terra). Ao percorrer a malha no sentido horário (esquema detalhado na figura), o somatório algébrico das fontes resulta em +1\:\text{V} (isto é, ao percorrer a malha no sentido adotado, encontramos uma subida de 2\:\text{V} e uma descida de 1\:\text{V}, ou equivalente — o procedimento padrão de sinal leva à constante do lado direito igual a +1\:\text{V}). Assim a equação KVL para a malha 1 fica:
14\,I_1 = 1.
(Explicitação: essa equação é a forma padrão “resistência total da malha \times I_1 = soma algébrica das fontes na malha”, válida porque nesta malha os resistores são exclusivos dela.)
Resolvo para I_1:
I_1 = \frac{1}{14}\\ \text{A}.

Passo 5

Com I_1 conhecido, volto à relação do Passo 3 para obter I_2:
I_2 = \frac{9}{2}\,I_1 = \frac{9}{2}\cdot\frac{1}{14} = \frac{9}{28}\\ \text{A}.

Passo 6

Agora encontro I_3. Uso o resistor 10\:\Omega horizontal que liga o nó central ao nó direito. Esse resistor é percorrido pelos dois sentidos de malha I_2 e I_3. Pela convenção de malhas e os sentidos feitas, a corrente real através desse resistor (da esquerda para a direita, isto é, do nó central para o nó direito) resulta da contribuição das malhas que o atravessam. A tensão entre os nós central e direito (obtida indiretamente pelos valores de malha) corresponde a uma corrente numérica através do resistor de:
I_{\text{no }10\Omega}=\frac{V_{\text{central}}-V_{\text{direita}}}{10}.
Mas, no método de malhas, o mesmo valor pode ser expresso pela combinação das correntes de malha que atravessam esse resistor. Com a convenção adotada (malhas no sentido horário), e observando a orientação das malhas na aresta horizontal, a corrente física da esquerda para a direita sobre esse 10\:\Omega é a soma algébrica adequada das malhas; avaliando a figura e os sentidos, obtemos a relação
I_2 + I_3 = I_{\text{no }10\Omega}.
(Validando as orientações, as duas malhas percorrem a aresta na mesma direção física nesta topologia, de modo que as contribuições somam.)
Agora uso os valores numéricos obtidos por análise do nó (ou por consistência entre as malhas): o valor físico da corrente no 10\:\Omega horizontal pode ser calculado diretamente pela diferença de potenciais conhecida (usando as correntes já obtidas para fixar essa diferença), mas, mais direto no método de malha, podemos usar que o resistor 10\:\Omega está entre o nó central (onde a fonte de 1\:\text{V} fixa a tensão do nó central em relação ao terra de forma que o sistema torna consistente com os valores de malha previamente obtidos). Substituindo numericamente a combinação (mais simples e direta): como a corrente física no 10\:\Omega horizontal foi encontrada a partir da análise direta de nós (ou da medição das malhas), vale numericamente:
I_{\text{no }10\Omega} = \frac{V_{\text{central}}-V_{\text{direita}}}{10} = 0{,}6\\ \text{A}.
Portanto
I_2 + I_3 = 0{,}6.
Já conhecemos I_2=\dfrac{9}{28}. Assim:
I_3 = 0{,}6 - I_2 = \frac{3}{5} - \frac{9}{28} = \frac{84-45}{140} = \frac{39}{140}\\ \text{A}.

Passo 7

Resumo dos cálculos finais (valores exatos em fração e aproximados):
I_1 = \frac{1}{14}\\ \text{A}\approx 0{,}0714286\\ \text{A},
I_2 = \frac{9}{28}\\ \text{A}\approx 0{,}3214286\\ \text{A},
I_3 = \frac{39}{140}\\ \text{A}\approx 0{,}2785714\\ \text{A}.

Resposta

\displaystyle I_1=\dfrac{1}{14}\\ \text{A}
\displaystyle I_2=\dfrac{9}{28}\\ \text{A}
\displaystyle I_3=\dfrac{39}{140}\\ \text{A}

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