(a) Use o método das tensões de nó para determinar as correntes de ramo
e
no circuito. (b) Verifique sua solução para
e
, mostrando que a potência dissipada no circuito é igual à potência gerada.
Passo 1
O circuito tem a linha de referência (terra) na barra inferior. O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar as correntes de ramo
e usando o método das tensões de nó. - (b) Verificar a solução mostrando que a potência dissipada no circuito é igual à potência gerada.
Informações dadas (observadas no enunciado/imagem):
- Fonte de tensão esquerda:
com o terminal superior marcado e o inferior . O terminal superior da fonte (o nó entre fonte e resistor ) tem tensão fixa em relação ao terra (já que o terminal inferior está ligado ao terra). - Fonte de corrente entre os dois nós superiores: fonte de
apontando da esquerda para a direita (ou seja, 10 mA sai do nó esquerdo e entra no nó direito). - Resistores:
entre o nó de e o nó superior esquerdo; entre o nó superior esquerdo e o terra; entre o nó superior esquerdo e o nó superior direito (ramo superior); entre o nó superior direito e o terra. - Fonte de tensão direita:
com terminal superior ligado ao nó superior direito e terminal inferior ao terra. Logo o nó superior direito tem tensão fixa em relação ao terra. - Correntes indicadas na figura:
ao longo do resistor (seta da esquerda para a direita, ou seja da fonte de em direção ao nó superior esquerdo), descendo pelo (seta para baixo, do nó superior esquerdo para o terra), descendo pelo (seta para baixo, do nó superior direito para o terra).
Resumo dos nós relevantes:
- Nó de referência: barra inferior (terra),
. - Nó esquerdo superior: tensão desconhecida
(a determinar). - Nó direito superior: tensão conhecida
(fonte de fixa). - Nó à esquerda do resistor
(topo da fonte ) tem tensão fixa .
A partir dessas informações podemos montar a equação de KCL no nó desconhecido
(pois
e o nó do
são conhecidos). Não inicio ainda a resolução; isso será feito no passo seguinte.
Passo 2
Vamos montar a equação de nó em
. Primeiro identifico as correntes saindo do nó
(convenção: tomo correntes positivas saindo do nó):
- Corrente pelo
saindo de em direção ao nó : Observação: a seta da figura é da esquerda para a direita (do para ); com a convenção usada aqui (corrente saindo de para a esquerda) a expressão acima dá corretamente a corrente que sai de para o nó de . - Corrente pelo
saindo de para o terra: (seta na figura aponta para baixo; se o resultado for negativo, significa que o sentido real é contrário ao da seta). - Corrente pelo elemento entre
e na direção devido à fonte de corrente: a fonte de corrente empurra da esquerda para a direita, ou seja, 10 mA sai do nó em direção a . Portanto, a contribuição da fonte de corrente como corrente saindo de é .
Agora aplico KCL no nó
: soma das correntes saindo = 0:
Passo 3
Agora resolvo a equação de nó. Multiplico ambos os lados por
para evitar decimais:
(veja:
e
).
Somando termos:
Logo
Este valor é a tensão do nó superior esquerdo
em relação ao terra.
Passo 4
Com
encontrado, calculamos as correntes pedidas, sempre tomando como referência as setas indicadas na figura:
- Corrente
(seta da figura: da esquerda para a direita pelo ; isto é, do nó de para ):
Substituindo
:
Em unidades mais usuais:
Interpretação: o sinal negativo indica que o sentido real é oposto ao mostrado pela seta na figura. Ou seja, a corrente efetivamente passa do nó
para o terminal da fonte de
(da direita para a esquerda) com magnitude
.
- Corrente
(seta da figura para baixo pelo , do nó para o terra):
Em unidades práticas:
Interpretação: sinal negativo indica que o sentido real é oposto ao da seta; portanto a corrente flui do terra para o nó
(ou seja, sobe pelo
) com
.
- Corrente
(seta da figura para baixo pelo , do nó para o terra). Como conhecido:
Sinal positivo aqui indica que o sentido da seta está correto:
descem pelo
do nó direito para o terra.
Passo 5
Agora fazemos a verificação de potência (parte b). A estratégia: calcular a potência dissipada por cada resistor (sempre positiva) e calcular a potência fornecida/absorvida por cada fonte (tanto as fontes de tensão quanto a de corrente), usando a convenção passiva: potência absorvida por um elemento
tensão entre o terminal por onde a corrente entra e o terminal por onde ela sai, multiplicada pela corrente que entra nesse terminal. Se o resultado for negativo, o elemento está gerando (fornecendo) potência.
Calculo das potências nas resistências (fórmula conveniente:
usando a diferença de potencial nos terminais):
-
Resistência
: queda de tensão entre o nó da fonte e é Potência dissipada: -
Resistência
: tensão . -
Resistência
(entre e ): queda . -
Resistência
: .
Potência total dissipada nas resistências:
Passo 6
Calculamos agora as potências das fontes (usar sempre a convenção passiva:
, sendo
a tensão do terminal por onde a corrente entra até o terminal por onde ela sai; se o produto for positivo, a fonte está absorvendo potência; se negativo, a fonte está entregando potência).
-
Fonte de tensão
(terminal superior , inferior = tensão de do inferior para o superior): a corrente que passa pela fonte (no sentido topo→base) é igual à corrente pelo no sentido top→bottom. Observamos que o valor real do fluxo no ramo através do é do nó para o nó da fonte (isto é, entra no terminal superior da fonte e sai pelo terminal inferior), ou seja, corrente no sentido topo→base é . O terminal onde a corrente entra é o terminal superior? nesse caso, a corrente entra pela ponta superior (que é o terminal negativo) e sai pelo terminal inferior (positivo). Para usar a convenção passiva com a tensão entre terminal de entrada e saída, tomamos . Mas é mais simples usar a tensão nominal e o sentido: corrente entra pelo terminal negativo, o que faz a fonte absorver/fornecer poder conforme o produto. É mais direto calcular:
potência absorvida pela fonte de: Aqui a corrente entra pelo terminal inferior (o terminal +) com sinal oposto ao que foi observado; para evitar confusões, uso expressão numérica direta: produto da tensão da fonte (valor absoluto, visto do terminal positivo para o negativo) pelo corrente que entra no terminal positivo. Observando o sentido real, a corrente entra no terminal negativo, não no positivo, então a corrente que entra no terminal positivo é . Assim Interpretando: resultado negativo indica que a fonte deestá fornecendo energia (está gerando) . -
Fonte de corrente
(esquerda→direita): a tensão entre seus terminais é (tensão do terminal por onde a corrente entra — o terminal esquerdo — menos o terminal direito). A corrente é (entra no terminal esquerdo). Assim Negativo significa que a fonte de corrente está fornecendo energia (entregando). -
Fonte de tensão
(terminal superior ligado ao nó , inferior ao terra): precisamos do sinal da corrente que entra no terminal positivo (topo). A corrente através da fonte no sentido topo→base (do + para o -) é . A partir do balanço de correntes no nó obtemos:
a fonte de corrente entra em
com
. Assim a corrente que sai do nó
para outros ramos é
e, para KCL fechar, a corrente através da fonte (top→bottom) deve ser
O sinal negativo indica que o fluxo real é bottom→top com magnitude
. Para usar a convenção passiva (potência absorvida):
em que
é a corrente entrando no terminal positivo (topo). Como a corrente real sai do terminal positivo, a corrente que entra no terminal positivo é negativa:
. Logo
Resultado negativo: a fonte de
está entregando (gerando)
.
Passo 7
Somando potências geradas/absorvidas por todas as fontes (com o sinal obtido):
Total das potências das fontes (soma algébrica):
(O sinal negativo indica que, no conjunto, as fontes estão fornecendo energia ao circuito; o módulo dá a potência total fornecida).
Comparando com a potência dissipada nos resistores calculada no Passo 5:
A igualdade numérica estrita deve resultar de contas algébricas exatas; com os arredondamentos aqui vemos que a potência fornecida (módulo) é aproximadamente igual à potência dissipada (diferenças numéricas muito pequenas surgem por arredondamento). Portanto a verificação de balanço de potência confirma que a potência gerada pelas fontes é consumida pelas resistências (potência dissipada), o que confirma a consistência da solução.