Determine as tensões
a
no circuito usando análise nodal. Obs:
unidade
(siemens) representa a condutância elétrica, que é o inverso da resistência (
). Portanto, recomenda-se converter as unidades antes de iniciar o problema para simplificar a análise, ou use as fórmulas de condutância, como preferir.
Passo 1
O que o problema pede: determinar as tensões
),
) e
) no circuito usando análise nodal.
Informações dadas (retiradas da figura):
- Há uma fonte de corrente que fornece ) do nó de referência (terra) para o nó da esquerda (nó com tensão )) — ou seja, ) entrando em ).
- Do nó ) existe um ramo para o terra com condutância ).
- Do nó ) existe um ramo para o terra com condutância ). O rótulo ) na figura corresponde ao potencial no topo dessa resistência; portanto ).
- Há uma condutância ) ligando ) ao nó direito superior que desce para ) (ou seja, um ramo direta entre ) e ) com )).
- Há uma condutância ) ligando ) a ).
- O nó ) está conectado a uma fonte de tensão de ) para o terra, com polaridade mostrada; portanto ) (referência ao terra).
- Entre
) e
) existe uma fonte de tensão dependente (diamante) com polaridade “
em , em ” e valor . Como ), a equação do fonte dependente é
Observações importantes extraídas da figura:
- Temos uma fonte de tensão controlada conectando dois nós não-referência (
e ), portanto será conveniente tratar e como um supernó na análise nodal.
Passo 2
Explicação didática do método escolhido:
- Quando duas (ou mais) incógnitas de tensão estão ligadas por uma fonte de tensão (independente ou dependente), formamos um “supernó” que envolve esses nós e aplicamos a Lei das Correntes de Kirchhoff (KCL) ao supernó. A vantagem é que evitamos escrever correntes através da fonte de tensão diretamente; em vez disso usamos KCL envolvendo todos os ramos que saem do supernó para outros nós (incluindo o terra) e complementarmente usamos a equação da fonte de tensão como equação adicional.
- Fórmula básica para corrente em termos de condutância: a corrente que sai de um nó
em direção a um nó por uma condutância é ). Aqui está em siemens ( ), e em volts e em ampères.
Vamos aplicar KCL ao supernó que envolve
) e
).
Passo 3
Escrever a soma das correntes que saem do supernó (pelos ramos conectados a
) e
)) e igualar à corrente que entra no supernó pela fonte de corrente.
Correntes saindo do supernó:
- Pelo ramo
\to) terra via
: ). - Pelo ramo
\to v_{3}) via
: . - Pelo ramo
\to) terra via
: . - Pelo ramo
\to v_{3}) via
: .
A fonte de corrente fornece
) entrando no nó
) (ou seja, entrando no supernó). Portanto KCL do supernó (correntes que saem = corrente que entra) fica:
Passo 4
Usar a equação da fonte dependente para relacionar
) e
).
Da figura temos (conforme Passo 1):
Portanto
Também sabemos da fonte independente que
Agora substituímos
) e
) na equação do supernó.
Passo 5
Substituição e simplificação (contas passo a passo):
Começando da equação do supernó:
Substituindo
e
:
Distribuindo e somando termos semelhantes:
Somando os coeficientes de
e os termos constantes:
Isolando
:
Passo 6
Calcular
e
a partir de
:
Usando
:
E já tínhamos:
Pequena checagem (opcional mas reconfortante): substituindo numericamente
e
na equação do supernó dá aproximadamente
, confirmando consistência.