Determine as tensões v_{1} a v_{3} no circuito usando análise nodal. Obs: A unidade \boldsymbol{S} (siemens) representa a condutância elétrica, que é o inverso da resistência ( 1 / \Omega ). Portanto, recomenda-se converter as unidades antes de iniciar o problema para simplificar a análise, ou use as fórmulas de condutância, como preferir.

Passo 1

O que o problema pede: determinar as tensões \(v_{1}), \(v_{2}) e \(v_{3}) no circuito usando análise nodal.
Informações dadas (retiradas da figura):
  • Há uma fonte de corrente que fornece \(2\\ \text{A}) do nó de referência (terra) para o nó da esquerda (nó com tensão \(v_{1})) — ou seja, \(2\\ \text{A}) entrando em \(v_{1}).
  • Do nó \(v_{1}) existe um ramo para o terra com condutância \(1\\ \text{S}).
  • Do nó \(v_{2}) existe um ramo para o terra com condutância \(4\\ \text{S}). O rótulo \(v_o) na figura corresponde ao potencial no topo dessa resistência; portanto \(v_o = v_{2}).
  • Há uma condutância \(2\\ \text{S}) ligando \(v_{1}) ao nó direito superior que desce para \(v_{3}) (ou seja, um ramo direta entre \(v_{1}) e \(v_{3}) com \(2\\ \text{S})).
  • Há uma condutância \(8\\ \text{S}) ligando \(v_{2}) a \(v_{3}).
  • O nó \(v_{3}) está conectado a uma fonte de tensão de \(13\\ \text{V}) para o terra, com polaridade mostrada; portanto \(v_{3}=13\\ \text{V}) (referência ao terra).
  • Entre \(v_{1}) e \(v_{2}) existe uma fonte de tensão dependente (diamante) com polaridade “ + em v_{1}, - em v_{2}” e valor 2 v_o. Como \(v_o=v_{2}), a equação do fonte dependente é
v_{1}-v_{2}=2 v_{o}=2 v_{2}.
Observações importantes extraídas da figura:
  • Temos uma fonte de tensão controlada conectando dois nós não-referência ( v_{1} e v_{2}), portanto será conveniente tratar v_{1} e v_{2} como um supernó na análise nodal.

Passo 2

Explicação didática do método escolhido:
  • Quando duas (ou mais) incógnitas de tensão estão ligadas por uma fonte de tensão (independente ou dependente), formamos um “supernó” que envolve esses nós e aplicamos a Lei das Correntes de Kirchhoff (KCL) ao supernó. A vantagem é que evitamos escrever correntes através da fonte de tensão diretamente; em vez disso usamos KCL envolvendo todos os ramos que saem do supernó para outros nós (incluindo o terra) e complementarmente usamos a equação da fonte de tensão como equação adicional.
  • Fórmula básica para corrente em termos de condutância: a corrente que sai de um nó a em direção a um nó b por uma condutância G é \(I = G\,(V_a - V_b)). Aqui G está em siemens ( S), V_a e V_b em volts e I em ampères.
Vamos aplicar KCL ao supernó que envolve \(v_{1}) e \(v_{2}).

Passo 3

Escrever a soma das correntes que saem do supernó (pelos ramos conectados a \(v_{1}) e \(v_{2})) e igualar à corrente que entra no supernó pela fonte de corrente.
Correntes saindo do supernó:
  • Pelo ramo \(v_{1} \to) terra via 1\\ \text{S}: \(1\cdot v_{1}).
  • Pelo ramo \(v_{1} \to v_{3}) via 2\\ \text{S}: \;2\,(v_{1}-v_{3}).
  • Pelo ramo \(v_{2} \to) terra via 4\\ \text{S}: \;4\cdot v_{2}.
  • Pelo ramo \(v_{2} \to v_{3}) via 8\\ \text{S}: \;8\,(v_{2}-v_{3}).
A fonte de corrente fornece \(2\\ \text{A}) entrando no nó \(v_{1}) (ou seja, entrando no supernó). Portanto KCL do supernó (correntes que saem = corrente que entra) fica:
1\cdot v_{1} \;+\; 2\,(v_{1}-v_{3}) \;+\; 4\cdot v_{2} \;+\; 8\,(v_{2}-v_{3}) \;=\; 2.

Passo 4

Usar a equação da fonte dependente para relacionar \(v_{1}) e \(v_{2}).
Da figura temos (conforme Passo 1):
v_{1}-v_{2}=2v_{2}.
Portanto
v_{1}=3v_{2}.
Também sabemos da fonte independente que
v_{3}=13\\ \text{V}.
Agora substituímos \(v_{1}=3v_{2}) e \(v_{3}=13) na equação do supernó.

Passo 5

Substituição e simplificação (contas passo a passo):
Começando da equação do supernó:
1\cdot v_{1} + 2(v_{1}-v_{3}) + 4 v_{2} + 8(v_{2}-v_{3}) = 2.
Substituindo v_{1}=3v_{2} e v_{3}=13:
1\cdot(3v_{2}) + 2\big(3v_{2}-13\big) + 4v_{2} + 8\big(v_{2}-13\big) = 2.
Distribuindo e somando termos semelhantes:
3v_{2} + 6v_{2} -26 + 4v_{2} + 8v_{2} -104 = 2.
Somando os coeficientes de v_{2} e os termos constantes:
(3+6+4+8)\,v_{2} + (-26 -104) = 2,
21\,v_{2} -130 = 2.
Isolando v_{2}:
21\,v_{2} = 132,
v_{2} = \frac{132}{21} = \frac{44}{7}\\ \text{V}.

Passo 6

Calcular v_{1} e v_{3} a partir de v_{2}:
Usando v_{1}=3v_{2}:
v_{1} = 3\cdot\frac{44}{7} = \frac{132}{7}\\ \text{V}.
E já tínhamos:
v_{3}=13\\ \text{V}.
Pequena checagem (opcional mas reconfortante): substituindo numericamente v_{2}\approx6{,}2857\\ \text{V} e v_{1}\approx18{,}8571\\ \text{V} na equação do supernó dá aproximadamente 2\\ \text{A}, confirmando consistência.

Resposta

\displaystyle v_{1}=\frac{132}{7}\\ \text{V}
\displaystyle v_{2}=\frac{44}{7}\\ \text{V}
\displaystyle v_{3}=13\\ \text{V}

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