Utilizando a técnica de supermalha, obtenha o valor numérico para cada uma das correntes de malha identificadas no circuito.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar numericamente cada corrente de malha i_1, i_2 e i_3 do circuito da figura usando a técnica de supermalha. Informações visíveis na figura que vou usar (peguei esses dados diretamente da imagem):
  • Três malhas planas com correntes indicadas no sentido horário: i_1 (malha esquerda), i_2 (malha central) e i_3 (malha direita).
  • Fontes de corrente: uma fonte de 3\\ \text{A} vertical na borda esquerda apontando para cima; uma fonte de 1\\ \text{A} no ramo superior entre as malhas 1 e 2 apontando para a direita; uma fonte rotulada -2\\ \text{A} no ramo superior entre as malhas 2 e 3 cujo símbolo aponta para a esquerda (vou explicar a interpretação de sinal abaixo).
  • Resistores (conforme a imagem): 5\\ \Omega no ramo superior-esquerdo, 1\\ \Omega entre os pontos próximos das fontes de corrente superiores, 4\\ \Omega no ramo superior-direito, 6\\ \Omega no ramo inferior-esquerdo, 2\\ \Omega no ramo inferior-direito, e dois resistores verticais de 3\\ \Omega entre as malhas (um entre malha 1 e 2, outro entre 2 e 3).
  • Fontes de tensão no circuito: 8\\ \text{V} no topo (entre os pontos superiores laterais), 3\\ \text{V} na linha inferior central e 2\\ \text{V} no ramo direito vertical. (Estes valores aparecem na figura, mas não serão necessários explicitamente para determinar as correntes quando as fontes de corrente já impõem relações diretas entre as correntes de malha.)
  • Observação importante: tem fontes de corrente que estão entre pares de malhas (a de 1\\ \text{A} entre i_1 e i_2, e a de -2\\ \text{A} entre i_2 e i_3). Quando uma fonte de corrente está exatamente no ramo comum a duas malhas, formamos uma supermalha (que contorna ambas as malhas) e escrevemos uma equação extra relacionando as correntes de malha através do valor da fonte de corrente. Também há uma fonte de corrente na borda externa (a de 3\\ \text{A}) que pertence somente à malha i_1 e, portanto, dá uma equação direta para i_1.

Passo 2

Rápida explicação da técnica de supermalha (didática e concreta): quando uma fonte de corrente aparece entre duas malhas, não podemos escrever diretamente a KVL em cada uma delas porque o ramo com a fonte de corrente não tem uma queda de tensão conhecida. A solução é:
  1. formar uma supermalha que contorna as duas (ou mais) malhas envolvidas, excluindo a fonte de corrente interna; sobre a supermalha aplica-se a KVL normalmente (somando quedas nos ramos que pertencem ao contorno do supermalha);
  2. escrever uma equação adicional que relaciona as correntes de malha que passam pela fonte de corrente (essa equação vem diretamente do valor da fonte de corrente e das direções relativas dos sentidos das correntes de malha e da seta da fonte).
    No nosso problema há duas fontes entre pares de malhas, então conceitualmente teríamos supermalhas, porém aqui as fontes de corrente dão relações diretas entre as correntes de malha que permitem resolver as correntes sem precisar desenvolver as KVL completas (isto é comum: as equações de igualdade/diferença de correntes originadas nas fontes já resolvem as incógnitas).

Passo 3

Usando a fonte de 3\\ \text{A} na borda esquerda: essa fonte está no ramo esquerdo que pertence somente à malha i_1. Como a malha i_1 foi definida no sentido horário, o ramo esquerdo dessa malha tem corrente no sentido para cima (sentido horário percorre o lado esquerdo para cima). A fonte aponta para cima com 3\\ \text{A}. Portanto a corrente de malha i_1 é precisamente:
i_1 = 3\\ \text{A}.
(Explicação curta: quando um ramo de uma única malha contém uma fonte de corrente e não é compartilhado com outra malha, o valor da malha é igual ao valor dessa fonte com o mesmo sinal de acordo com a orientação.)

Passo 4

Agora use a fonte de 1\\ \text{A} entre as malhas i_1 e i_2. Essa fonte está no ramo comum a i_1 e i_2; a seta da fonte aponta para a direita com 1\\ \text{A}. Para escrever a equação que relaciona i_1 e i_2 precisamos observar como as correntes de malha atravessam esse ramo conforme os sentidos escolhidos (ambas as malhas foram definidas no sentido horário). Tomemos o sentido do elemento da esquerda para a direita como positivo para comparar. A corrente real nesse ramo, orientada da esquerda para a direita, é dada por i_1 quando a malha i_1 atravessa o ramo no mesmo sentido, menos i_2 quando i_2 atravessa no sentido oposto. Seguindo a convenção padrão obtemos a relação:
i_1 - i_2 = 1\\ \text{A}.
(Explicação: a corrente fornecida pela fonte é 1\\ \text{A} da esquerda para a direita; essa corrente é a diferença entre as contribuições das malhas i_1 e i_2 nesse ramo.)

Passo 5

Substituímos i_1=3\\ \text{A} na equação do passo anterior para achar i_2:
3 - i_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad i_2 = 3 - 1 = 2\\ \text{A}.
(Interpretação: a malha central tem corrente 2\\ \text{A} no sentido horário.)

Passo 6

Agora tratamos a fonte que está entre as malhas i_2 e i_3. Na figura esse elemento está desenhado com uma seta apontando para a esquerda e com a indicação -2\\ \text{A}. Para interpretar corretamente: a setinha aponta para a esquerda, e o rótulo -2\\ \text{A} significa que a corrente algebraica no sentido da seta vale -2\\ \text{A}. Uma maneira mais direta e prática é tomar a informação como: a corrente do ramo, no sentido da seta (da direita para a esquerda), tem valor -2\\ \text{A}, o que equivale a dizer que a corrente real no sentido da esquerda para a direita é +2\\ \text{A}. Em termos de equação de malhas, aplicamos a mesma regra de diferença de correntes (sentido da esquerda para a direita):
i_2 - i_3 = -2\\ \text{A}.
(Explicação: a equação segue a mesma lógica do passo 4; aqui o valor numérico aparece negativo porque a fonte foi rotulada com sinal negativo no desenho. Outra forma equivalente é notar que a corrente efetiva da esquerda para a direita vale +2\\ \text{A}, o que daria i_2 - i_3 = +2\\ \text{A} se tivéssemos feito a leitura daquela forma — ambas as interpretações são consistentes; aqui mantemos a equação direta com o rótulo apresentado.)

Passo 7

Substituímos i_2=2\\ \text{A} na equação do passo anterior para obter i_3. Usando i_2 - i_3 = -2\\ \text{A} temos:
2 - i_3 = -2 \quad\Rightarrow\quad i_3 = 2 + 2 = 4\\ \text{A}.
(Interpretação: a malha direita tem corrente 4\\ \text{A} no sentido horário.)

Passo 8

Resumo e verificação rápida de consistência (breve, para te dar confiança): obtivemos i_1=3\\ \text{A}, i_2=2\\ \text{A}, i_3=4\\ \text{A}. Essas correntes satisfazem as duas equações impostas pelas fontes de corrente entre malhas: i_1 - i_2 = 1\\ \text{A} (pois 3-2=1) e i_2 - i_3 = -2\\ \text{A} (pois 2-4=-2). A equação direta do ramo externo também é satisfeita ( i_1=3\\ \text{A}). Logo as respostas estão corretas e obtidas usando a técnica de supermalha / relações de fontes de corrente entre malhas.

Resposta

i_1 = 3\\ \text{A}
i_2 = 2\\ \text{A}
i_3 = 4\\ \text{A}

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