Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
Também sabendo que
mathscrLf * g=mathscrLf(t) mathscrLg(t)=F(s) G(s),
e a forma inversa do Teorema de Convolução
mathscrL^-1F(s) G(s)=f * g
Resolva:
6.5. mathscrLe^-t * e^t cos t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o que a gente tem aqui é para calcular a transformada de Laplace da convolução entre duas funções: e . Então, vamos usar conceitos de convolução e transformada de Laplace. Precisamos lembrar como calcular a transformada de Laplace de cada função e depois multiplicar essas transformadas para achar a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções envolvidas na convolução:

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de cada uma dessas funções.
Para mathscrLe^-t = 1s + 1 :
mathscrLe^t cos t = s - 1(s - 1)^2 + 1
Isso porque a transformada de Laplace de é , e aqui .
Para :
Aqui usamos a propriedade da transformada de Laplace para , que desloca a variável para . No caso, e cuja transformada é .

Passo 4

Agora que temos as transformadas de Laplace de mathscrLe^-t * e^t cos t = mathscrLe^-t cdot mathscrLe^t cos t = 1s + 1 cdot s - 1(s - 1)^2 + 1 e , vamos multiplicá-las para encontrar a transformada da convolução:

Resposta

mathscrLe^-t * e^t cos t = s - 1(s + 1)[(s - 1)^2 + 1]

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