Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
Também sabendo que
mathscrLf * g=mathscrLf(t) mathscrLg(t)=F(s) G(s),
e a forma inversa do Teorema de Convolução
mathscrL^-1F(s) G(s)=f * g
Resolva:
6.11. mathscrL^-1s(s^2+4)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar a transformada inversa de Laplace da expressão . Estamos lidando com Transformadas de Laplace e convolução. Para isso, vamos precisar entender como a convolução funciona e como aplicá-la para encontrar a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a convolução de duas funções f * g = integral0^t f(tau) , g(t - tau) , dtau e mathscrLf * g = mathscrLf(t) cdot mathscrLg(t) = F(s) cdot G(s) é definida por:
E, no mundo das Transformadas de Laplace, sabemos que:
Isso significa que, para encontrar a transformada inversa de um produto de transformadas de Laplace, podemos usar a convolução das funções correspondentes no domínio do tempo.

Passo 3

Observando a expressão que queremos inverter:
Podemos notar que isso é igual a:
s(s^2+4)^2
Aqui, identificamos duas partes:
  1. ss^2+4 cdot 1s^2+4 , que sabemos que é a transformada de .
  2. , que é a transformada de .

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema da Convolução, a transformada inversa de f(t) * g(t) = cos(2tau) * 12sin(2(t - tau)) será a convolução das funções correspondentes:
mathscrL^-1s(s^2+4)^2 = integral0^t cos(2tau) cdot 12sin(2(t - tau)) , dtau
Então, a função que queremos encontrar é:

Passo 5

Vamos simplificar a integral:
12 integral0^t cos(2tau) cdot sin(2(t - tau)) , dtau
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
sin A cos B = 12 [sin(A+B) + sin(A-B)]
Aplicando isso, temos:
sin(2(t - tau)) cos(2tau) = 12 [sin(2t) + sin(2t - 4tau)]

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
12 cdot 12 integral0^t [sin(2t) + sin(2t - 4tau)] , dtau = 14 [ sin(2t) cdot t - cos(2t - 4tau)4 |0^t ]
Ao calcular os limites da integral, percebemos que os termos com 14 [ t sin(2t) - cos(-2t) - cos(2t)4 ] = 14 t sin(2t) se cancelam:

Resposta

mathscrL^-1s(s^2+4)^2 = t , sin(2t)4

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