Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
Também sabendo que
mathscrLf * g=mathscrLf(t) mathscrLg(t)=F(s) G(s),
e a forma inversa do Teorema de Convolução
mathscrL^-1F(s) G(s)=f * g
Resolva:
6.10. mathscrL^-11(s+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para encontrar a inversa de Laplace da função . Isso está ligado ao estudo de transformadas de Laplace e à convolução de funções. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada inversa de Laplace e usar algumas propriedades básicas dessas transformadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a transformada inversa de Laplace. Basicamente, ela nos permite voltar da frequência para o tempo . No nosso caso, queremos encontrar uma função no tempo que, quando transformada, resulta em .

Passo 3

Sabemos que a transformada de Laplace de é . Isso é uma fórmula padrão que aparece frequentemente em transformadas de Laplace. Aqui, é uma constante.

Passo 4

Comparando isso com a nossa função , percebemos que . Isso significa que a função no tempo correspondente será , ou seja, .

Passo 5

Então, aplicando a transformada inversa de Laplace à nossa função original, temos:
mathscrL^-11(s+1)^2 = t e^-t

Resposta

mathscrL^-11(s+1)^2 = t e^-t

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