Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
Também sabendo que
mathscrLf * g=mathscrLf(t) mathscrLg(t)=F(s) G(s),
e a forma inversa do Teorema de Convolução
mathscrL^-1F(s) G(s)=f * g
Resolva:
6.3. mathscrLt^2 * t^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a transformada de Laplace da convolução de duas funções, especificamente e . Queremos usar o conteúdo de convolução e transformadas de Laplace para resolver isso. Basicamente, precisamos entender como a convolução funciona e como a transformada de Laplace se relaciona com ela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a convolução de duas funções. A convolução de f * g = integral0^t f(tau) , g(t - tau) , dtau e é dada por:
Isso significa que estamos “misturando” as duas funções de uma maneira específica, integrando o produto delas ao longo do intervalo de 0 até .

Passo 3

Agora, a transformada de Laplace da convolução de duas funções tem uma propriedade muito útil:
mathscrLf * g = mathscrLf(t) cdot mathscrLg(t) = F(s) cdot G(s)
Ou seja, a transformada de Laplace da convolução é igual ao produto das transformadas de Laplace individuais das funções.

Passo 4

Vamos aplicar isso para as funções dadas na questão: mathscrLt^n = n!s^n+1 e . Primeiro, precisamos encontrar as transformadas de Laplace de cada uma dessas funções.
A transformada de Laplace de é:
Onde é o fatorial de .

Passo 5

Calculando as transformadas de Laplace:
Para mathscrLt^2 = 2!s^3 = 2s^3 :
mathscrLt^4 = 4!s^5 = 24s^5
Para :

Passo 6

Agora, usando a propriedade da convolução na transformada de Laplace:
mathscrLt^2 * t^4 = mathscrLt^2 cdot mathscrLt^4 = 2s^3 cdot 24s^5 = 48s^8

Resposta

Então, a transformada de Laplace da convolução de mathscrLt^2 * t^4 = 48s^8 e é:

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