Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
Também sabendo que
mathscrLf * g=mathscrLf(t) mathscrLg(t)=F(s) G(s),
e a forma inversa do Teorema de Convolução
mathscrL^-1F(s) G(s)=f * g
Resolva:
6.4. mathscrLt^2 * t e^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a transformada de Laplace da convolução de com . Aqui, vamos usar o conceito de convolução de funções e as propriedades da transformada de Laplace para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a transformada de Laplace da convolução de duas funções mathscrLf * g = mathscrLf(t) cdot mathscrLg(t) = F(s) cdot G(s) e é igual ao produto das transformadas de Laplace dessas funções. Ou seja:
Então, vamos identificar e para as funções dadas.

Passo 3

Vamos calcular mathscrLt^n = n!s^n+1 , que é a transformada de Laplace de F(s) = mathscrLt^2 = 2!s^3 = 2s^3 . A fórmula geral para a transformada de é:
Para :

Passo 4

Agora, vamos calcular mathscrLt e^at = 1(s - a)^2 , que é a transformada de Laplace de G(s) = mathscrLt e^t = 1(s - 1)^2 . Para funções da forma , a transformada de Laplace é:
No nosso caso, :

Passo 5

Com mathscrLt^2 * t e^t = F(s) cdot G(s) = 2s^3 cdot 1(s - 1)^2 = 2s^3(s - 1)^2 e calculados, aplicamos a propriedade da convolução:

Resposta

A transformada de Laplace de mathscrLt^2 * t e^t = 2s^3(s - 1)^2 é:

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