Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
Também sabendo que
mathscrLf * g=mathscrLf(t) mathscrLg(t)=F(s) G(s),
e a forma inversa do Teorema de Convolução
mathscrL^-1F(s) G(s)=f * g
Resolva:
6.8. mathscrL^-11s(s^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer que a gente encontre a transformada inversa de Laplace da função . Pra resolver isso, vamos usar o conceito de convolução de duas funções. A convolução é uma forma de combinar duas funções para formar uma terceira, e no contexto das transformadas de Laplace, existem algumas propriedades que vão nos ajudar bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função que queremos transformar inversamente:
1s(s^2+1)
Podemos pensar nisso como o produto de duas funções no domínio de Laplace:
F(s) = 1s e G(s) = 1s^2+1
Isso é útil porque sabemos que a transformada de convolução de duas funções no tempo corresponde ao produto de suas transformadas de Laplace.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as transformadas inversas de mathscrLf(t) = F(s) = 1s e mathscrLg(t) = G(s) = 1s^2+1 e mathscrL^-11s = 1 e mathscrL^-11s^2+1 = sin(t) , ou seja, encontrar f(t) = 1 e g(t) = sin(t) e tais que:
Sabemos por tabela que:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a convolução de f * g = integral0^t f(tau) g(t - tau) , dtau e f * g = integral0^t 1 cdot sin(t - tau) , dtau = integral0^t sin(t - tau) , dtau , ou seja, f * g = integralt^0 sin(u) cdot (-du) = integral0^t sin(u) , du = 1 - cos(t) . A definição da convolução é:
Substituindo e , temos:
Vamos fazer uma substituição simples: deixe , então . Quando , , e quando , . A integral fica:

Passo 5

Então, pela propriedade da convolução na transformada de Laplace:
mathscrL^-1 1s(s^2+1) = f * g = 1 - cos(t)

Resposta

A transformada inversa é .

Exercícios relacionados