Define-se a convolução de duas funções f e g por
f * g=integral0^t f(t) g(t-tau) d tau
Também sabendo que
mathscrLf * g=mathscrLf(t) mathscrLg(t)=F(s) G(s),
e a forma inversa do Teorema de Convolução
mathscrL^-1F(s) G(s)=f * g
Resolva:
6.1. mathscrL1 * t^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da convolução entre as funções e . Para isso, vamos usar conceitos de convolução e transformadas de Laplace. Vamos precisar entender o que é convolução e como aplicar o Teorema da Convolução para facilitar nosso cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a convolução de duas funções. A convolução f * g = integral0^t f(tau) g(t - tau) dtau de 1 * t^3 = integral0^t 1 cdot (t - tau)^3 dtau e é definida por:
No nosso caso, temos e . Então, a convolução fica:

Passo 3

Antes de calcular essa integral diretamente, vamos usar o Teorema da Convolução das transformadas de Laplace. Esse teorema diz que:
mathscrLf * g = mathscrLf(t) cdot mathscrLg(t)
Isso significa que podemos calcular diretamente as transformadas de Laplace das funções e multiplicá-las, ao invés de resolver a integral da convolução.

Passo 4

Vamos encontrar as transformadas de Laplace de mathscrL1 = integral0^infty e^-st cdot 1 , dt = 1s e de mathscrLt^3 = integral0^infty e^-st t^3 , dt = 6s^4 :
  • Para :
  • Para :
Você pode lembrar que, em geral, .

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema da Convolução:
mathscrL1 * t^3 = mathscrL1 cdot mathscrLt^3 = 1s cdot 6s^4 = 6s^5

Resposta

A transformada de Laplace da convolução mathscrL1 * t^3 = 6s^5 é:

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