Define-se a convolução de duas funções
e
por
Também sabendo que
e a forma inversa do Teorema de Convolução
Resolva:
6.12.
6.12.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem que achar a inversa da transformada de Laplace de
. Isso envolve conceitos de transformada de Laplace e convolução. Pra resolver, vamos precisar completar o quadrado no denominador, usar propriedades da transformada de Laplace e aplicar o teorema da convolução.
Passo 2
Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador
. Isso ajuda a simplificar a expressão para facilitar a inversa.
Agora, nossa expressão fica:
Passo 3
Sabemos que a transformada de Laplace de
é:
Comparando com o que temos, identificamos
e
. Então, a inversa de
é:
Passo 4
Agora, queremos achar a inversa de
. Observa que isso é igual a
, ou seja, a multiplicação de duas funções
.
Pelo teorema da convolução, a inversa da multiplicação de duas transformadas é a convolução das inversas. Então:
Passo 5
Vamos calcular a convolução
. A convolução de duas funções
e
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Vamos resolver a integral
. Usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Resolvendo cada parte separadamente:
Então:
Passo 7
Voltando à convolução:
Simplificando:
Resposta
A inversa da transformada de Laplace é: