Define se o Laplaciano de uma função f: A \subset \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} de classe C^{2} por
\Delta f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}
Note que \Delta f=\operatorname{div}(\nabla f). Verifique as seguintes relações:
\nabla(f g)=g \nabla f+f \nabla g

Passo 1

O enunciado define o operador Laplaciano em \mathbb{R}^3 e lembra que
\Delta f = \mathrm{div}(\nabla f).
Pede para verificar a relação do gradiente do produto de duas funções de classe C^2, isto é, mostrar que
\nabla(fg) = g\,\nabla f + f\,\nabla g.
O conteúdo envolvido é cálculo vetorial: definição de gradiente e a regra do produto para derivadas parciais.

Passo 2

Lembremos que, dado uma função escalar h(x,y,z), seu gradiente é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de h, ou seja,
\nabla h = \Bigl(\frac{\partial h}{\partial x},\,\frac{\partial h}{\partial y},\,\frac{\partial h}{\partial z}\Bigr).

Passo 3

Aplicamos essa definição à função h = f\,g. Assim,
\nabla(fg) = \Bigl(\frac{\partial (fg)}{\partial x},\,\frac{\partial (fg)}{\partial y},\,\frac{\partial (fg)}{\partial z}\Bigr).
Em cada componente usamos a regra do produto para derivadas parciais.

Passo 4

Para a componente x:
\frac{\partial (fg)}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x}\,g + f\,\frac{\partial g}{\partial x}.
Análogo para y e z:
\frac{\partial (fg)}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial y}\,g + f\,\frac{\partial g}{\partial y}, \quad \frac{\partial (fg)}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial z}\,g + f\,\frac{\partial g}{\partial z}.

Passo 5

Agrupando essas componentes em vetor, temos
\nabla(fg) = \Bigl(g\,\frac{\partial f}{\partial x},\,g\,\frac{\partial f}{\partial y},\,g\,\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr) + \Bigl(f\,\frac{\partial g}{\partial x},\,f\,\frac{\partial g}{\partial y},\,f\,\frac{\partial g}{\partial z}\Bigr).
Ou seja,
\nabla(fg) = g\,\nabla f + f\,\nabla g.

Resposta

\displaystyle \nabla(fg)=g\,\nabla f+f\,\nabla g.

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