Define se o Laplaciano de uma função
de classe
por
Note que
. Verifique as seguintes relações:
Passo 1
O enunciado define o operador Laplaciano em
e lembra que
Pede para verificar a relação do gradiente do produto de duas funções de classe
, isto é, mostrar que
O conteúdo envolvido é cálculo vetorial: definição de gradiente e a regra do produto para derivadas parciais.
Passo 2
Lembremos que, dado uma função escalar
, seu gradiente é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
, ou seja,
Passo 3
Aplicamos essa definição à função
. Assim,
Em cada componente usamos a regra do produto para derivadas parciais.
Passo 4
Para a componente
:
Análogo para
e
:
Passo 5
Agrupando essas componentes em vetor, temos
Ou seja,