Define se o Laplaciano de uma função
de classe
por
Note que
. Verifique as seguintes relações:
.
Passo 1
O enunciado define o Laplaciano de uma função
de classe
por
e observa que
. Queremos verificar a identidade
O que usaremos é a regra do produto para a divergência de um escalar vezes um campo vetorial:
Passo 2
Aplicando a regra do produto a
, tomamos
e
. Então
Passo 3
De modo análogo, para
usamos
e
, obtendo
Passo 4
Como a divergência é linear, temos
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Passo 5
Observando que
, esses termos se cancelam, restando
que é exatamente a identidade pedida.