Define se o Laplaciano de uma função f: A \subset \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} de classe C^{2} por
\Delta f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}
Note que \Delta f=\operatorname{div}(\nabla f). Verifique as seguintes relações:
\operatorname{div}(f \cdot \nabla g-g \cdot \nabla f)=f \Delta g-g \Delta f.

Passo 1

O enunciado define o Laplaciano de uma função f\colon A\subset\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} de classe C^2 por
\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
e observa que \Delta f = \mathrm{div}(\nabla f). Queremos verificar a identidade
\mathrm{div}\bigl(f\,\nabla g - g\,\nabla f\bigr) \;=\; f\,\Delta g \;-\; g\,\Delta f.
O que usaremos é a regra do produto para a divergência de um escalar vezes um campo vetorial:
\mathrm{div}(\varphi\,\mathbf{F}) = \nabla\varphi\cdot\mathbf{F} + \varphi\,\mathrm{div}(\mathbf{F}).

Passo 2

Aplicando a regra do produto a \mathrm{div}(f\,\nabla g), tomamos \varphi=f e \mathbf{F}=\nabla g. Então
\mathrm{div}\bigl(f\,\nabla g\bigr) = \nabla f\cdot\nabla g \;+\; f\,\mathrm{div}(\nabla g) = \nabla f\cdot\nabla g \;+\; f\,\Delta g.

Passo 3

De modo análogo, para \mathrm{div}(g\,\nabla f) usamos \varphi=g e \mathbf{F}=\nabla f, obtendo
\mathrm{div}\bigl(g\,\nabla f\bigr) = \nabla g\cdot\nabla f \;+\; g\,\mathrm{div}(\nabla f) = \nabla g\cdot\nabla f \;+\; g\,\Delta f.

Passo 4

Como a divergência é linear, temos
\mathrm{div}\bigl(f\,\nabla g - g\,\nabla f\bigr) = \mathrm{div}(f\,\nabla g) \;-\;\mathrm{div}(g\,\nabla f).
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
\mathrm{div}\bigl(f\,\nabla g - g\,\nabla f\bigr) = \bigl(\nabla f\cdot\nabla g + f\,\Delta g\bigr) - \bigl(\nabla g\cdot\nabla f + g\,\Delta f\bigr).

Passo 5

Observando que \nabla f\cdot\nabla g = \nabla g\cdot\nabla f, esses termos se cancelam, restando
\mathrm{div}\bigl(f\,\nabla g - g\,\nabla f\bigr) = f\,\Delta g \;-\; g\,\Delta f,
que é exatamente a identidade pedida.

Resposta

\displaystyle \mathrm{div}\bigl(f\,\nabla g - g\,\nabla f\bigr) = f\,\Delta g - g\,\Delta f.

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