Determine se o campo \vec{F}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} é um acampo conservativos. Em caso afirmativo, encontre uma função potencial para o campo \vec{F}.
\vec{F}(x, y, z)=\left(6 x y+z^{3}\right) \vec{i}+\left(3 x^{2}-z\right) \vec{j}+\left(z^{2}-y\right) \vec{k}

Passo 1

O enunciado dá o campo
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(6xy+z^{3}\bigr)\,\vec{i}+\bigl(3x^{2}-z\bigr)\,\vec{j}+\bigl(z^{2}-y\bigr)\,\vec{k}
e pede para verificar se é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar função potencial. O conteúdo principal envolve cálculo do rotor \nabla\times\vec{F} e teste de conservatividade em domínios simplesmente conexos.

Passo 2

Como o domínio considerado é \mathbb{R}^{3}, que é simplesmente conexo, vale o teorema de que \vec{F} é conservativo se e somente se
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}.

Passo 3

Vamos calcular componentes do rotor relevantes: se escrevermos \vec{F}=(P,Q,R), então um componente do rotor é
(\nabla\times\vec{F})_{y} \;=\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}.
Aqui
\frac{\partial P}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(6xy+z^{3}\bigr) =3z^{2}, \qquad \frac{\partial R}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(z^{2}-y\bigr) =0.
Como 3z^{2}\neq0 em geral, (\nabla\times\vec{F})_{y}\neq0, logo \nabla\times\vec{F}\neq\vec{0}.

Resposta

O campo \vec{F} não é conservativo em \mathbb{R}^{3} e, portanto, não existe função potencial definida em todo o domínio.

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