(Definição de Derivada) Por definição, a derivada de uma função
em um número
, que denotamos por
, é definida por
Usando a definição, mostre que a derivada da função
é igual a
, qualquer que seja o número real
.
Passo 1
O enunciado pede que eu use a definição de derivada
para mostrar que, para a função
, vale
para todo número real
.
Informações relevantes fornecidas:
e a definição da derivada em
:
Passo 2
Escrevo explicitamente a diferença quociente que preciso avaliar:
O objetivo é calcular o limite quando
dessa expressão. Note que, se eu tentar substituir
diretamente, obtenho uma forma indeterminada
, porque o numerador fica
. Por isso preciso manipular algebricamente a expressão antes de passar ao limite.
Passo 3
Uma técnica padrão para lidar com diferenças de raízes é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado da expressão
é
. Multiplicando por esse conjugado eu elimino as raízes no numerador usando a identidade
. Então faço:
Passo 4
Aplico a multiplicação indicada; no numerador uso
:
Agora simplifico o numerador:
Substituindo isso na fração obtenho:
Posso cancelar o fator
(válido para
, e lembrando que para o limite me interessa
próximo de
mas não exatamente
):
Passo 5
Agora que a forma indeterminada foi removida, posso tomar o limite
. Uso a continuidade da função raiz quadrada: se
é uma expressão que tende a um valor quando
, então
tende à raiz do valor limite. Em particular,
Assim, ao passar ao limite na expressão simplificada,
Finalmente simplifico o fator
:
Passo 6
Conclusão e interpretação rápida: obtive que o limite da diferença quociente é
, então pela definição de derivada
Essa expressão dá a inclinação da tangente ao gráfico de
no ponto
. Por exemplo, para
obtemos
, ou seja a tangente em
é horizontal.