(Definição de Derivada) Por definição, a derivada de uma função f em um número a, que denotamos por f^{\prime}(a), é definida por
f^{\prime}(a)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} .
Usando a definição, mostre que a derivada da função f(x)=\sqrt{x^{2}+1} é igual a f^{\prime}(a)=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}, qualquer que seja o número real a.

Passo 1

O enunciado pede que eu use a definição de derivada
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
para mostrar que, para a função f(x)=\sqrt{x^{2}+1}, vale
f'(a)=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}
para todo número real a.
Informações relevantes fornecidas:
f(x)=\sqrt{x^{2}+1}
e a definição da derivada em a:
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Passo 2

Escrevo explicitamente a diferença quociente que preciso avaliar:
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{\sqrt{(a+h)^{2}+1}-\sqrt{a^{2}+1}}{h}.
O objetivo é calcular o limite quando h\to 0 dessa expressão. Note que, se eu tentar substituir h=0 diretamente, obtenho uma forma indeterminada \frac{0}{0}, porque o numerador fica \sqrt{a^{2}+1}-\sqrt{a^{2}+1}=0. Por isso preciso manipular algebricamente a expressão antes de passar ao limite.

Passo 3

Uma técnica padrão para lidar com diferenças de raízes é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado da expressão \sqrt{(a+h)^{2}+1}-\sqrt{a^{2}+1} é \sqrt{(a+h)^{2}+1}+\sqrt{a^{2}+1}. Multiplicando por esse conjugado eu elimino as raízes no numerador usando a identidade (u-v)(u+v)=u^{2}-v^{2}. Então faço:
\frac{\sqrt{(a+h)^{2}+1}-\sqrt{a^{2}+1}}{h}\cdot\frac{\sqrt{(a+h)^{2}+1}+\sqrt{a^{2}+1}}{\sqrt{(a+h)^{2}+1}+\sqrt{a^{2}+1}}.

Passo 4

Aplico a multiplicação indicada; no numerador uso u^{2}-v^{2}:
\frac{\big((a+h)^{2}+1\big)-\big(a^{2}+1\big)}{h\big(\sqrt{(a+h)^{2}+1}+\sqrt{a^{2}+1}\big)}.
Agora simplifico o numerador:
\big((a+h)^{2}+1\big)-\big(a^{2}+1\big)=(a+h)^{2}-a^{2}=a^{2}+2ah+h^{2}-a^{2}=2ah+h^{2}=h(2a+h).
Substituindo isso na fração obtenho:
\frac{h(2a+h)}{h\big(\sqrt{(a+h)^{2}+1}+\sqrt{a^{2}+1}\big)}.
Posso cancelar o fator h (válido para h\neq 0, e lembrando que para o limite me interessa h próximo de 0 mas não exatamente 0):
\frac{2a+h}{\sqrt{(a+h)^{2}+1}+\sqrt{a^{2}+1}}.

Passo 5

Agora que a forma indeterminada foi removida, posso tomar o limite h\to 0. Uso a continuidade da função raiz quadrada: se g(h) é uma expressão que tende a um valor quando h\to 0, então \sqrt{g(h)} tende à raiz do valor limite. Em particular,
\lim_{h\to 0}\sqrt{(a+h)^{2}+1}=\sqrt{a^{2}+1}.
Assim, ao passar ao limite na expressão simplificada,
\lim_{h\to 0}\frac{2a+h}{\sqrt{(a+h)^{2}+1}+\sqrt{a^{2}+1}} =\frac{2a+0}{\sqrt{a^{2}+1}+\sqrt{a^{2}+1}} =\frac{2a}{2\sqrt{a^{2}+1}}.
Finalmente simplifico o fator 2:
\frac{2a}{2\sqrt{a^{2}+1}}=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}.

Passo 6

Conclusão e interpretação rápida: obtive que o limite da diferença quociente é \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}, então pela definição de derivada
f'(a)=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}.
Essa expressão dá a inclinação da tangente ao gráfico de f(x)=\sqrt{x^{2}+1} no ponto x=a. Por exemplo, para a=0 obtemos f'(0)=0, ou seja a tangente em x=0 é horizontal.

Resposta

f'(a)=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}

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