(1.) Esboce o gráfico de uma função
que satisfaça as seguintes condições:
(a)
é assíntota horizontal de
(b)
seja descontínua em 0
(c)
seja função ímpar.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce (ou forneça) um gráfico de uma função
que satisfaça simultaneamente três condições:
(a) é assíntota horizontal de
.
(b) é descontínua em
.
(c) é função ímpar (isto é,
para todo
no domínio).
(a)
(b)
(c)
Informações relevantes dadas:
- A linha horizontal
deve ser uma assíntota horizontal. - A função é definida em
(porque o enunciado exige que seja descontínua em — para ser descontínua em um ponto precisamos que a função esteja definida nesse ponto). - A função deve satisfazer a relação de imparidade em todo o seu domínio, inclusive em
(logo, se está no domínio, a relação impõe uma condição em ).
Passo 2
Vamos lembrar (e aprender) o que cada conceito significa, com calma e exemplos simples.
Definição 1 — assíntota horizontal:
- Dizemos que a reta
é assíntota horizontal de no infinito direito se
- Dizemos que
é assíntota horizontal de no infinito esquerdo se
Muitas vezes, nos exercícios, a frase "
é assíntota horizontal" pode querer dizer que
é assíntota para ambos os lados (ou seja, os dois limites para
e
são
); noutras interpretações pode significar apenas que existe pelo menos um dos limites igual a
. Vou tratar as duas interpretações.
Definição 2 — função ímpar:
-
é ímpar se, para todo no domínio, vale
Uma consequência imediata é que, se
pertence ao domínio, então colocando
obtemos
Então qualquer função ímpar definida em
precisa ter
.
Definição 3 — descontinuidade em
:
- A
é descontínua em se existe (pois o enunciado pede "descontínua em "), mas
Como vimos acima, para uma função ímpar definida em
tem que ser
. Logo, para ser descontínua em
no caso ímpar, precisamos que
exista e seja diferente de
ou que o limite não exista.
Passo 3
Agora, verificando consistência entre as condições (a) e (c) na interpretação usual (assíntota em ambos os infinitos).
Suponha que
seja ímpar e que
seja assíntota horizontal tanto para
quanto para
. Então
Mas se
é ímpar, então para todo
do domínio vale
. Tomando limites, isto implica (quando os limites existem)
Portanto
Se
, então
. Logo não é possível ter ao mesmo tempo
e
para uma função ímpar. Conclusão: NÃO EXISTE função ímpar definida em todo um domínio que tenha a mesmíssima assíntota horizontal
em ambos os infinitos.
Isso é um argumento direto por contradição — observe como a propriedade de imparidade força simetria de sinais entre os limites nos dois lados do infinito.
Passo 4
Interpretação prática para o exercício:
- Se o professor queria que
fosse assíntota horizontal em ambos os lados ( ), então o sistema de condições (a)+(c) é incompatível: não existe tal função. Eu já mostrei a prova simples acima. - Se, porém, o enunciado quis apenas que
seja assíntota horizontal em um dos infinitos (por exemplo, no infinito direito, ), então não há contradição: podemos construir uma função ímpar que tenha e, por imparidade, . Nesse caso tudo é compatível.
Vou então dar um exemplo explícito e muito simples no caso em que a assíntota é exigida apenas para
(interpretação que é comum em alguns enunciados ambíguos).
Passo 5
Construção explícita — exemplo simples (fácil de esboçar):
Defino a função
Verificações passo a passo (para você conseguir justificar na prova):
-
Imparidade: para porque
. Para a mesma verificação funciona. Em temos e . Logo, para todo . Portanto é ímpar. -
Assíntota horizontal para
: como para todo temos , o limite . Assim é assíntota horizontal à direita (isto é, no infinito positivo). -
Descontinuidade em
: . Mas os limites laterais existem e são
Como os limites laterais não coincidem com
(e nem entre si), a função é descontínua em
. Portanto condição (b) satisfeita.
- Comportamento no infinito esquerdo:
por construção (isto é coerente com a imparidade e com a assíntota direita sendo ).
Este exemplo é o esboço mais direto: no gráfico você teria uma linha horizontal em
para toda a parte à direita do eixo
, uma linha horizontal em
para toda a parte à esquerda, e um ponto isolado no
. Isso já satisfaz todas as condições na interpretação de assíntota à direita.]
Passo 6
Outra opção um pouco mais “suave” (se você quiser uma função que não seja constante fora de zero, mas tenda para
quando
):
Defina para
para
defina
, e para
use imparidade:
Verificações rápidas:
-
(logo é assíntota à direita). -
e , então gera descontinuidade em . - A função é ímpar por construção. Esse exemplo é mais “liso” para desenhar uma curva que tende exponencialmente para as assíntotas.
Resposta
Não existe função ímpar para a qual
que é ímpar, descontínua em
.]