(1.) Esboce o gráfico de uma função f que satisfaça as seguintes condições:
(a) y=1 é assíntota horizontal de f
(b) f seja descontínua em 0
(c) f seja função ímpar.

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce (ou forneça) um gráfico de uma função f que satisfaça simultaneamente três condições:
(a) y=1 é assíntota horizontal de f.
(b) f é descontínua em 0.
(c) f é função ímpar (isto é, f(-x)=-f(x) para todo x no domínio).
Informações relevantes dadas:
  • A linha horizontal y=1 deve ser uma assíntota horizontal.
  • A função é definida em 0 (porque o enunciado exige que seja descontínua em 0 — para ser descontínua em um ponto precisamos que a função esteja definida nesse ponto).
  • A função deve satisfazer a relação de imparidade em todo o seu domínio, inclusive em 0 (logo, se 0 está no domínio, a relação impõe uma condição em f(0)).

Passo 2

Vamos lembrar (e aprender) o que cada conceito significa, com calma e exemplos simples.
Definição 1 — assíntota horizontal:
  • Dizemos que a reta y=L é assíntota horizontal de f no infinito direito se
\lim_{x\to+\infty} f(x) = L.
  • Dizemos que y=L é assíntota horizontal de f no infinito esquerdo se
\lim_{x\to-\infty} f(x) = L.
Muitas vezes, nos exercícios, a frase " y=1 é assíntota horizontal" pode querer dizer que y=1 é assíntota para ambos os lados (ou seja, os dois limites para +\infty e -\infty são 1); noutras interpretações pode significar apenas que existe pelo menos um dos limites igual a 1. Vou tratar as duas interpretações.
Definição 2 — função ímpar:
  • f é ímpar se, para todo x no domínio, vale
f(-x) = -f(x).
Uma consequência imediata é que, se 0 pertence ao domínio, então colocando x=0 obtemos
f(0) = -f(0) \Rightarrow f(0)=0.
Então qualquer função ímpar definida em 0 precisa ter f(0)=0.
Definição 3 — descontinuidade em 0:
  • A f é descontínua em 0 se f(0) existe (pois o enunciado pede "descontínua em 0"), mas
\lim_{x\to0} f(x) \neq f(0) \quad\text{ou}\quad \lim_{x\to0} f(x)\\ \text{não existe}.ã
Como vimos acima, para uma função ímpar definida em 0 tem que ser f(0)=0. Logo, para ser descontínua em 0 no caso ímpar, precisamos que \lim_{x\to0} f(x) exista e seja diferente de 0 ou que o limite não exista.

Passo 3

Agora, verificando consistência entre as condições (a) e (c) na interpretação usual (assíntota em ambos os infinitos).
Suponha que f seja ímpar e que y=1 seja assíntota horizontal tanto para +\infty quanto para -\infty. Então
\lim_{x\to+\infty} f(x) = 1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to-\infty} f(x) = 1.
Mas se f é ímpar, então para todo x do domínio vale f(-x)=-f(x). Tomando limites, isto implica (quando os limites existem)
\lim_{t\to -\infty} f(t) = \lim_{x\to +\infty} f(-x) = \lim_{x\to +\infty} -f(x) = -\lim_{x\to +\infty} f(x).
Portanto
\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\lim_{x\to +\infty} f(x).
Se \lim_{x\to +\infty} f(x)=1, então \lim_{x\to -\infty} f(x) = -1. Logo não é possível ter ao mesmo tempo \lim_{x\to+\infty} f(x)=1 e \lim_{x\to-\infty} f(x)=1 para uma função ímpar. Conclusão: NÃO EXISTE função ímpar definida em todo um domínio que tenha a mesmíssima assíntota horizontal y=1 em ambos os infinitos.
Isso é um argumento direto por contradição — observe como a propriedade de imparidade força simetria de sinais entre os limites nos dois lados do infinito.

Passo 4

Interpretação prática para o exercício:
  • Se o professor queria que y=1 fosse assíntota horizontal em ambos os lados ( \pm\infty), então o sistema de condições (a)+(c) é incompatível: não existe tal função. Eu já mostrei a prova simples acima.
  • Se, porém, o enunciado quis apenas que y=1 seja assíntota horizontal em um dos infinitos (por exemplo, no infinito direito, x\to+\infty), então não há contradição: podemos construir uma função ímpar que tenha \lim_{x\to+\infty} f(x)=1 e, por imparidade, \lim_{x\to-\infty} f(x)=-1. Nesse caso tudo é compatível.
Vou então dar um exemplo explícito e muito simples no caso em que a assíntota é exigida apenas para x\to+\infty (interpretação que é comum em alguns enunciados ambíguos).

Passo 5

Construção explícita — exemplo simples (fácil de esboçar):
Defino a função \;f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\;\) por partes assim: \[f(x)=\begin{cases} 1, & x>0,\\[4pt] 0, & x=0,\\[4pt] -1, & x<0. \end{cases}
Verificações passo a passo (para você conseguir justificar na prova):
  1. Imparidade: para x>0\] temos \(f(-x) = f(\text{negativo}) = -1 = -f(x) porque f(x)=1. Para x<0 a mesma verificação funciona. Em x=0 temos f(0)=0 e 0=-0. Logo, f(-x)=-f(x) para todo x. Portanto f é ímpar.
  2. Assíntota horizontal para x\to+\infty: como para todo x>0 temos f(x)=1, o limite \lim_{x\to+\infty} f(x)=1. Assim y=1 é assíntota horizontal à direita (isto é, no infinito positivo).
  3. Descontinuidade em 0: f(0)=0. Mas os limites laterais existem e são
\lim_{x\to0^+} f(x)=1,\qquad \lim_{x\to0^-} f(x)=-1.
Como os limites laterais não coincidem com f(0)=0 (e nem entre si), a função é descontínua em 0. Portanto condição (b) satisfeita.
  1. Comportamento no infinito esquerdo: \lim_{x\to -\infty} f(x) = -1 por construção (isto é coerente com a imparidade e com a assíntota direita sendo +1).
Este exemplo é o esboço mais direto: no gráfico você teria uma linha horizontal em y=1 para toda a parte à direita do eixo y, uma linha horizontal em y=-1 para toda a parte à esquerda, e um ponto isolado no (0,0). Isso já satisfaz todas as condições na interpretação de assíntota à direita.]

Passo 6

Outra opção um pouco mais “suave” (se você quiser uma função que não seja constante fora de zero, mas tenda para 1 quando x\to+\infty):
Defina para x>0
f(x)=1+e^{-x},
para x=0 defina f(0)=0, e para x<0 use imparidade:
f(x)=-f(-x) = -\bigl(1+e^{x}\bigr).
Verificações rápidas:
  • \lim_{x\to+\infty} f(x)=1 (logo y=1 é assíntota à direita).
  • \lim_{x\to0^+} f(x)=1+e^{0}=2 e \lim_{x\to0^-} f(x)=-2, então f(0)=0 gera descontinuidade em 0.
  • A função é ímpar por construção. Esse exemplo é mais “liso” para desenhar uma curva que tende exponencialmente para as assíntotas.

Resposta

Não existe função ímpar para a qual y=1\) seja assíntota horizontal em ambos os infinitos (\(\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=1\) é impossível para função ímpar). Se a intenção for que \(y=1\) seja assíntota apenas para \(x\to+\infty\), um exemplo simples é \[f(x)=\begin{cases} 1, & x>0,\\[4pt] 0, & x=0,\\[4pt] -1, & x<0, \end{cases}
que é ímpar, descontínua em 0\] e tem \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=1.]

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