(Equação da Reta Tangente) Um problema fundamental no Cálculo Diferencial é o problema da reta tangente. Usando as regras de derivação apropriadas, determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=\left(\frac{x^{3}}{1+x^{2}}\right)^{2} no ponto de abscissa x=1.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abscissa x=1.
Informações dadas:
f(x)=\left(\frac{x^{3}}{1+x^{2}}\right)^{2}
e o ponto onde queremos a tangente tem abscissa x=1. Precisamos, portanto, do ponto \big(1,f(1)\big) e da derivada f'(1) (a inclinação da tangente).

Passo 2

Fórmula que usamos para a reta tangente em x=a:
y = f(a) + f'(a)\,(x-a).
Aqui a é a abscissa do ponto de tangência, f(a) é a ordenada no ponto e f'(a) é a inclinação (derivada) avaliada em a. Então a tarefa se reduz a calcular f(1) e f'(1).

Passo 3

Vamos derivar f. Observa que f(x) é uma composição: é o quadrado de uma função g(x). Defina
g(x)=\frac{x^{3}}{1+x^{2}},
então
f(x)=\big(g(x)\big)^{2}.
Regra da cadeia (explicação): se f(x)=\big(u(x)\big)^{2}, então a derivada é f'(x)=2\,u(x)\,u'(x). Aqui u(x) é uma função qualquer; a regra diz que derivamos o expoente por fora (2·u) e multiplicamos pela derivada da função interna u'(x). Aplicando:
f'(x)=2\,g(x)\,g'(x).

Passo 4

Agora precisamos de g'(x). Como g é uma razão u(x)/v(x) com u(x)=x^{3} e v(x)=1+x^{2}, usamos a regra do quociente (explicação): se g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}, então
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\big(v(x)\big)^{2}}.
Aqui u'(x) é a derivada do numerador e v'(x) a do denominador. Calculando:
u'(x)=3x^{2},\qquad v'(x)=2x.
Substituindo:
g'(x)=\frac{(3x^{2})(1+x^{2}) - x^{3}(2x)}{(1+x^{2})^{2}}.
Desenvolvendo o numerador passo a passo:
(3x^{2})(1+x^{2}) = 3x^{2} + 3x^{4},
x^{3}(2x) = 2x^{4},
então o numerador fica
3x^{2} + 3x^{4} - 2x^{4} = 3x^{2} + x^{4} = x^{2}(3+x^{2}).
Portanto
g'(x)=\frac{x^{2}(3+x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}.

Passo 5

Voltando a f'(x)=2\,g(x)\,g'(x), substituímos g(x) e g'(x):
f'(x)=2\cdot\frac{x^{3}}{1+x^{2}}\cdot\frac{x^{2}(3+x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}.
Combine numeradores e denominadores cuidadosamente:
f'(x)=\frac{2\,x^{3}\,x^{2}\,(3+x^{2})}{(1+x^{2})^{3}}=\frac{2\,x^{5}(3+x^{2})}{(1+x^{2})^{3}}.
Explicando a combinação: \dfrac{1}{1+x^{2}}\cdot\dfrac{1}{(1+x^{2})^{2}}=\dfrac{1}{(1+x^{2})^{3}} e x^{3}\cdot x^{2}=x^{5}.

Passo 6

Agora avaliamos em x=1.
Calcule f(1):
f(1)=\left(\frac{1^{3}}{1+1^{2}}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}.
Calcule f'(1) usando a fórmula obtida:
f'(1)=\frac{2\cdot 1^{5}\,(3+1^{2})}{(1+1^{2})^{3}}=\frac{2\cdot 1\cdot(3+1)}{(1+1)^{3}}=\frac{2\cdot 4}{2^{3}}=\frac{8}{8}=1.

Passo 7

Monte a equação da reta tangente usando a=1:
y = f(1) + f'(1)\,(x-1) = \frac{1}{4} + 1\cdot (x-1).
Simplifique:
y = \frac{1}{4} + x - 1 = x - \frac{3}{4}.

Resposta

y = x - \dfrac{3}{4}

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