(Equação da Reta Tangente) Um problema fundamental no Cálculo Diferencial é o problema da reta tangente. Usando as regras de derivação apropriadas, determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.
Informações dadas:
Informações dadas:
e o ponto onde queremos a tangente tem abscissa
. Precisamos, portanto, do ponto
e da derivada
(a inclinação da tangente).
Passo 2
Fórmula que usamos para a reta tangente em
:
Aqui
é a abscissa do ponto de tangência,
é a ordenada no ponto e
é a inclinação (derivada) avaliada em
. Então a tarefa se reduz a calcular
e
.
Passo 3
Vamos derivar
. Observa que
é uma composição: é o quadrado de uma função
. Defina
então
Regra da cadeia (explicação): se
, então a derivada é
. Aqui
é uma função qualquer; a regra diz que derivamos o expoente por fora (2·u) e multiplicamos pela derivada da função interna
. Aplicando:
Passo 4
Agora precisamos de
. Como
é uma razão
com
e
, usamos a regra do quociente (explicação): se
, então
Aqui
é a derivada do numerador e
a do denominador. Calculando:
Substituindo:
Desenvolvendo o numerador passo a passo:
então o numerador fica
Portanto
Passo 5
Voltando a
, substituímos
e
:
Combine numeradores e denominadores cuidadosamente:
Explicando a combinação:
e
.
Passo 6
Agora avaliamos em
.
Calcule
:
Calcule
usando a fórmula obtida:
Passo 7
Monte a equação da reta tangente usando
:
Simplifique: