Uma definição para a função gama é dada pela integral imprópria
(a) Mostre que
.
(b) Mostre que
.
(c) Use o fato de que
para determinar a transformada de Laplace das seguintes funções:
(i)
(ii)
(b) Mostre que
(c) Use o fato de que
(i)
(ii)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: a função Gama é definida por
- Dado também:
- Pede-se:
(a) Mostrar que.
(b) Mostrar que.
(c) Usando, determinar as transformadas de Laplace de:
(i),
(ii).
Observações úteis que vou usar (sem iniciar a resolução ainda):
- A transformada de Laplace é definida por
, normalmente para e condições que garantam convergência. - Para aplicar a definição de
e a transformada de Laplace será preciso abordar integral imprópria e trocar variáveis; também usarei integração por partes no item (a).
Passo 2
Prova de (a): mostrar
.
Começo escrevendo a definição para
:
Vou aplicar integração por partes na integral imprópria. Lembrete da fórmula de integração por partes (válida quando as integrais envolvidas convergem):
Faço a escolha clássica:
Aplicando integração por partes:
Agora avalio o termo à prova:
- Para
: porque a exponencial decai mais rápido que qualquer potência (uma maneira rápida de ver: aplicar L’Hôpital ao limite ). - Para
: quando porque e .
Portanto o termo de fronteira
, e resta:
Isto prova (a).
Passo 3
Prova de (b): mostrar
.
Começo pela definição da transformada de Laplace aplicada a
:
Faço a mudança de variável
. Então
e
. Quando
vai de
a
,
também vai de
a
. Substituindo:
Agora fatoro as potências de
:
Logo
Mas a integral
é exatamente
pela definição da função Gama. Assim
Condições de convergência: para que tudo faça sentido pela integral imprópria é necessário
(para que
não seja muito singular em
) e normalmente
para decaimento exponencial; sob essas condições a troca de variável e a identificação com
são válidas. (No enunciado inicial a função Gama foi dada para parâmetros positivos, mas aqui a integral definiu
, que exige
, i.e.
.)
Passo 4
Preparação para (c): calcular algumas valores da função Gama usando a recorrência de (a).
Sabendo que
, posso obter:
Aplicando a relação novamente,
Esses valores serão usados abaixo para obter as transformadas pedidas.
Passo 5
Resposta de (c)(i):
.
Aqui
(observe
vale). Usando o resultado de (b):
Substituindo
:
Passo 6
Resposta de (c)(ii):
.
Aqui
. Usando (b):
Substituindo
(do Passo 4):
Resposta
(a)
(b)
\quad (válido para
e
)
(c)(i)
(c)(ii)